2022年北京市西城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年北京市西城区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市西城区中考数学二模试卷

题号
一
二
三
四
总分
得分







一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )
A. 圆柱
B. 长方体
C. 圆锥
D. 三棱锥
2. 2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭(今杭州)，北到涿郡(今北京)，全长约1800000m.将1800000用科学记数法表示应为(    )
A. 0.18×107 B. 1800×103 C. 18×105 D. 1.8×106
3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
4. 在同一条数轴上分别用点表示实数−1.5，0，−11，|−4|，则其中最左边的点表示的实数是(    )
A. −11 B. 0 C. −1.5 D. |−4|
5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为(    )
A. 9πm2 B. 6πm2 C. 3πm2 D. πm2
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB=2AE，EC，BD交于点F.若BD=10，则DF的长为(    )
A. 3.5
B. 4.5
C. 4
D. 5
7. 一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离．
t/min
0
3
6
9
y/m
675
600
525
450
如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为(    )
A. 25min B. 21min C. 13min D. 12min
8. 教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64.后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x−，方差是s2，则(    )
A. x−<7.5，s2=1.64 B. x−=7.5，s2>1.64
C. x−>7.5，s2<1.64 D. x−=7.5，s2<1.64

二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 若1x−4在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 方程组x−y=33x+y=5的解为______．
11. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD.若∠CDE=70°，则∠B=______°.


12. 用一个a的值说明命题“若a>0，则a2>1a”是错误的，这个值可以是a=______．
13. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF.若AB=4，BC=7，则EF的长为______．

14. 将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1,−4)，则b的值为______．
15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，OB=13，BC=4，则tanA的值为______．



16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～ℎ的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
(1)若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______(填“甲”或“乙”)一定获胜；
(2)若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）
17. 计算：|−2|+2cos45°−8+(13)−2．
18. 解不等式：5x−26
四、解答题（本大题共10小题，共58分）
19. 已知x2+x−5=0，求代数式(1x+1x+1)⋅56x+3的值．
20. 已知：如图，△ABC．
求作：点D(点D与点B在直线AC的异侧)，使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴______=______．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°.(______)(填推理的依据)
21. 已知关于x的一元二次方程12x2−mx+m−5=0．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
22. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若AB=5，cos∠OBC=45，求BF的长．


23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=mx的图象在第四象限的交点为(n,−1)．
(1)求b，m的值；
(2)点P(xp,yp)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足mxp 24. 如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
(1)求证：FA//CO；
(2)若FA=FE，CD=4，BE=2，求FA的长．



25. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩(百分制)统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
(2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______(填“符合”或“不符合”)入选参加展演的条件；
(3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______．

26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．
(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；
(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；
(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<72.直接写出a的取值范围．
27. 在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB(点B′与点B在直线AC的异侧)点D是射线CB′上一动点(不与点C重合)，点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；(用含a的式子表示)
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB与直线l：y=kx+b，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，则称线段A′B′为线段AB的“[k,b]关联线段”．
已知点A(1,1)，B(1,−1)．
(1)线段A′B′为线段AB的“[1,b]关联线段”，点A′的坐标为(2,0)，则A′B′的长为______，b的值为______；
(2)线段A′B′为线段AB的“[k,0]关联线段”，直线l1经过点C(0,2)，若点A′，B′都在直线l1上，连接OA′，求∠COA′的度数；
(3)点P(−3,0)，Q(−3,3)，线段A′B′为线段AB的“[k,b]关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段A′B′与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．答案和解析

1.【答案】C
【解析】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，所以这个几何体是圆锥．
故选：C．
由圆锥的展开图的特点判断即可．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．

2.【答案】D
【解析】解：1800000=1.8×106．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

3.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

4.【答案】A
【解析】解：|−4|=4，
∵3<11<4，
∴−3>−11>−4，
即−4<−11<−3，
，
在最左边的点表示的实数是−11，
故选：A．
求出|−4|=4，在数轴上表示出各个数，再得出选项即可．
本题考查了数轴，绝对值和实数的大小比较法则，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解此题的关键．

5.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
n=120°，r=3，
∴S=nπr2360=120π×32360=3π(m2).
故选：C．
应用扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．

6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
又∵AB=2AE，
∴ABBE=CDBE=23，
∵AB//CD，
∴△CDF∽△EBF，
∴DFBF=CDEB=23，
∴DF=23BF，
∴DF=25BD=25×10=4，
故选：C．
由AB=2AE知ABBE=CDBE=23，由AB//CD知△CDF∽△EBF，据此得DFBF=CDEB=23，继而知DF=23BF，从而得DF=25BD=4．
本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．

7.【答案】B
【解析】解：根据表中x，y的数量关系发现：t每减少3min，y减少75m，则y是x的一次函数，
设y与x的关系式为y=kx+b，
把x=0时，y=675，
x=3时，y=600，
代入上式得b=6753k+b=600，
解得：k=−25b=675，
∴y=−25x+675，
当x=6时，y=−25×6+675=525，当x=9时，y=−25×9+675=450，
∴y与x的关系式为y=−25x+675．
当y=150时，即150=−25x+675，
解：x=21．
答：从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为21min．
故选：B．
根据表中x，y的数量关系发现：t每减少3min，y减少75m，可知y是x的一次函数，由待定系数法求出函数解析式，根据解析式即可求出答案．
本题主要考查了一次函数的应用，根据表中x，y的数量关系发现y是x的一次函数是解决问题的关键．

8.【答案】D
【解析】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为6+9=15，实际的两个数的和为8+7=15，
所以更正后实际成绩的平均数是x−与原来平均数相同，方差变小，
所以x−=7.5，s2<1.64，
故选：D．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．

9.【答案】x≠4
【解析】解：由题意可得x−4≠0，
解得：x≠4，
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．

10.【答案】x=2y=−1
【解析】解：x−y=3①3x+y=5②，
①+②得：4x=8，
解得x=2．
把x=2代入①得：2−y=3，
∴y=−1．
∴方程组的解是x=2y=−1．
故答案为：x=2y=−1．
加减消元法消去y求出x，把x代入方程①求出y即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想：消元．

11.【答案】50
【解析】解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠A=90°，
∵∠CDE=70°，
由折叠性质可得∠CED=∠A=90°，∠ADC=∠CDE=70°，
∴∠BED=90°，∠BDE=180°−∠ADC−∠CDE=40°，
∴∠B=180°−∠BED−∠BDE=50°，
故答案为：50．
由折叠性质可得∠CED=∠A=90°，∠ADC=∠CDE=70°，从而可得∠BED=90°，∠BDE=40°，即可求解．
本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全等．

12.【答案】12(答案不唯一)
【解析】解：当a=12>0时，a2=(12)2=14，1a=112=2，
此时a2<1a，
故答案为：12(答案不唯一)．
找到一个满足条件但不满足结论的数即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够找到一个满足条件但不满足结论的a的值，难度不大．

13.【答案】32
【解析】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，BC=7，
∴DE=12BC=72，
∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵D为AB的中点，AB=4，
∴DF=12AB=2，
∴EF=DE−DF=32．
故答案为：32．
根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF，即可得出答案．
本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

14.【答案】6
【解析】解：将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线为y=2x2−b，
∵新抛物线经过点(1,−4)，
∴−4=2−b，
∴b=6，
故答案为：6．
首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点(1,−4)代入即可求得．
本题考查了二次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．

15.【答案】23
【解析】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
∴BD=2OB=213，∠ACB=90°
在Rt△BCD中，BD=213，BC=4，
∴CD=BD2−BC2=(213)2−42=6，
∴tanD=BCCD=46=23，
∵∠D=∠A，
∴tanA=23，
故答案为：23．
延长BO交⊙O于D，连接CD，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠D=∠A，由勾股定理求出CD，根据三角函数解的定义即可求出tanA的值．
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．

16.【答案】乙  e、f．
【解析】解：(1)∵甲首次取走写有b、c、d的三个球，
∴还剩下a、e、f、g、ℎ，
又∵乙首次也取走三个球，但必须相邻，
∴乙可以取e、f、g或f、g、ℎ，
若乙取e、f、g只剩下a、ℎ，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f、g、ℎ，只剩下a、e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，
故乙拿走最后的一个，故乙胜；
故答案为：乙．
(2)∵甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、ℎ，
①若乙取三个球，
若乙取c、d、e或f、g、ℎ，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d、e、f，此时甲取g，则c、ℎ不相邻，则甲胜；
若取e、f、g，此时甲取d，则cℎ不相邻，则甲胜；
②若乙取两个球：
若乙取c、d，此时甲取f、g，那么剩下e、ℎ，不相邻，则甲胜；
若乙取d、e，此时甲取f、g，则c、ℎ不相邻，则甲胜；
若乙取e、f，
此时甲取c、d或g、ℎ，则乙胜；
若甲c或d，那么乙取g或ℎ，则乙胜；
若甲取g或ℎ，那么乙取c或d，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e、f．
故答案为：e、f．
(1)由于甲首次取走写有b、c、d的三个球，那么剩下a、e、f、g、ℎ，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题；
 (2)由于甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、ℎ，而乙可以取的球分为①若乙取三个球；②若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题．
本题主要考查了逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高．

17.【答案】解：原式=2+2−22+9
=(1+1−2)2+9
=9．
【解析】本题涉负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的化简、二次根式化简几个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值等知识点的运算．

18.【答案】解：去分母得：5x−2<3x+6，
移项得：5x−3x<6+2，
合并同类项得：2x<8，
系数化为1得：x<4．
故正整数解为1，2，3．
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解，然后找出对应的正整数解即可．
本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤．

19.【答案】解：(1x+1x+1)⋅56x+3
=[x+1x(x+1)+xx(x+1)]⋅56x+3
=x+1+xx(x+1)⋅53(2x+1)
=2x+1x(x+1)⋅53(2x+1)
=53x(x+1)，
∵x2+x−5=0，
∴x2+x=5，
当x2+x=5时，原式=x2+x3x(x+1)=x(x+1)3x(x+1)=13．
【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，求出x2+x=5，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】OB  OC  圆内接四边形的对角互补
【解析】解：(1)如图，点D为所作；

(2)完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°(圆内接四边形的对角互补)．
(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC，OB=OC.则OA=OB=OC.所以点A，B，C都在⊙O上．然后根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质．

21.【答案】(1)证明：Δ=b2−4ac=(−m)2−4×12(m−5)
=m2−2m+10
=(m−1)2+9，
∵(m−1)2≥0，
∴(m−1)2+9>0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)将m=1代入方程12x2−mx+m−5=0中，得(m−1)2=9，
解得：m=4或−2．
∴当m=1时，m的值为4或−2．
【解析】(1)根据关于x的一元二次方程x2−4mx+4m2−9=0的根的判别式Δ=b2−4ac的符号来判定该方程的根的情况；
(2)将m=1代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)将m=1代入原方程求出m值．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC=CD=AD，
∵CF=AE，
∴AE+AD=CF+BC，即DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OB，AB=BC=5，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，cos∠OBC=OBBC=45，
∴OB5=45，
∴OB=4，
∴BD=2OB=8，
∵四边形EBFD是矩形，
∴∠F=90°，
在Rt△BFD中，cos∠OBC=BFBD，
∴BF=BD×cos∠OBC=8×45=325．
【解析】(1)先证DE=BF，得出四边形EBFD是平行四边形，再由∠BED=90°，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得BD=2OB，AB=BC=5，AC⊥BD，在Rt△BOC中，由锐角三角函数定义求出OB=4，得出BD=8，再在Rt△BFD中，由锐角三角函数定义求出BF即可．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．

23.【答案】解：(1)把(4,0)代入y=−x+b，得0=−4+b．
解得：b=4．
∴一次函数解析式为y=−x+4，
把(n,−1)代入y=x+4.得−l=−n+4．
解得：n=5．
把(5,1)代入y=mx得，−1=m5，
解得：m=−5；
∴b=4，m=−5．
(2)∵mxp 解得：0 ∴点P在线段BD上运动，
连接OD，过点O作OC⊥BD于C，

由−x+4=−5x，解得：x=5，代入y=−x+4，得：y=−1，
∴A(4,0)，Β (0,4)，D (5,−1)，
∴OA=OB=4，
∴AB=OA2+OB2=42+42=42，
∴S△OAB=12OA⋅OB=12AB⋅OC，
∴4×4=42OC，
∴OC=22，
∵O(0,0)，D (5,−1)，
∴OD=(5−0)2+(−1−0)2=26，
∴OC≤OP ∴22≤OP<26．
【解析】(1)将(4,0)代入y=−x+b得，−4+b=0，解出方程即可求出b的值，将(n,−1)代入刚刚求出的一次函数解析式即可求出n的值，最后将新求出的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值．
(2)根据mxp 本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

24.【答案】(1)证明：如图1，连接BD，OD，

∵CD，CB均为⊙O的切线，
∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
OC=OCOD=OB，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，
∴∠OCD=∠OCB，
∵△CDB为等腰三角形，
∴OC⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AF⊥BD，
∴FA//CO；
(2)解：如图2，

∵CD=4，
∴CB=CD=4，
∵∠OBC=90°，
∴∠EBC=90°，
∵BE=2，
∴CE=CB2+BE2=42+22=25，
∵FA=FE，
∴∠A=∠E，
∵FA//CO，
∴∠A=∠COE，
∴∠COE=∠E，
∴CO=CE，
∵CB⊥OE，
∴OB=BE=2，
∴OA=2，
∴AE=6，OE=4，
∵OC//FA，
∴ECEF=EOEA，
∴25EF=46，
∴EF=35，
∴FA=EF=35．
【解析】(1)连接BD，OD，由切线长定理及切线的性质可得CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，利用“HL”证明Rt△ODC≌△OBC，得出∠OCD=∠OCB，由等腰三角形的性质得出OC⊥BD，由圆周角定理得出AF⊥BD，进而得出FA//CO；
(2)由勾股定理求出CE=25，由平行线的性质及等腰三角形的性质得出CO=CE，进而得出OB=BE=2，OA=2，即可得出AE=6，OE=4，由平行线分线段成比例定理得出ECEF=EOEA，即可求出EF=35，继而得出FA=EF=35．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

25.【答案】符合  4 23
【解析】解：(1)这名学生的综合成绩为85×60%+60×40%=75(分)．
(2)由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，
占比为6.7%<10%，满足第一个条件．
乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，
故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，
∴乙剧社符合入选参加展演的条件．
故答案为：符合．
(3)由图可知，甲、乙剧社符合条件的学生各有2人，
∴符合条件的学生一共有4人．
画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的结果有8种，
∴被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的概率为812=23．
故答案为：4；23．
(1)计算85×60%+60×40%即可．
(2)由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，计算占比可知满足第一个条件；乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，
故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，即可得出答案．
(3)观察统计图可得符合条件的学生人数．通过画树状图列出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
本题考查统计的应用、列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．

26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)，
∴c=−24a+2b+c=−2，
解得：c=−2b=−2a，
∴抛物线解析式为y=ax2−2ax−2，
∴抛物线对称轴为直线x=−−2a2a=1，
故c的值为−2，抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)把y=−6代入y=ax2−2ax−2，得：ax2−2ax−2=−6，
整理得：ax2−2ax+4=0，
∵抛物线与直线y=−6没有公共点，
∴Δ=(−2a)2−4a×4<0，
即a(a−4)<0，
∵a≠0，
∴当a<0时，a−4>0，即a>4，
此时，无解；
当a>0时，a−4<0，即a<4，
∴0 综上所述，a的取值范围为0 (3)∵点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，
∴y1=at2−2at−2，y2=a(t+1)2−2a(t+1)−2=at2−a−2，
∴|y2−y1|=|(at2−a−2)−(at2−2at−2)|=|a(2t−1)|，
∵当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<72，
∴−72 ∴a2−74 ∵a≠0，
∴当a<0时，12+74a ∴12+74a≤−212−74a≥4，
解得：−710≤a≤−12；
当a>0时，12−74a ∴12−74a≤−212+74a≥4，
解得：0 综上所述，a的取值范围是−710≤a≤−12或0 【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；
(3)根据题意得：y1=at2−2at−2，y2=a(t+1)2−2a(t+1)−2=at2−a−2，|y2−y1|=|(at2−a−2)−(at2−2at−2)|=|a(2t−1)|，由于当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<72，可得a2−740时，12−74a 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．

27.【答案】互相垂直 12a
【解析】解：(1)当点E与点C重合时，∠DAE=∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′，
即AD与CB′的位置关系是互相垂直，
若BC=a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：

则∠AMC=90°=∠ADC，
∵AB=AC，
∴CM=BM=12BC=12a，
在△ACD与△ACM中，
∠ADC=∠AMC∠ACD=∠ACMAC=AC，
∴△ACD≌△ACM(AAS)，
∴CD=CM=12a，
即CD的长为12a，
故答案为：互相垂直；12a；
(2)①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC=2∠DAE，证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，如图：

则∠AMC=∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACB′=90°，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
即∠DAE+∠ACB′=90°，
∴∠DAE=∠CAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
∠ANC=∠AMC∠ACN=∠ACMAC=AC，
∴△ACN≌△ACM(AAS)，
∴∠CAN=∠CAM，
∴∠BAC=2∠CAM=2∠CAN=2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE=CD十DE，证明如下：
在BC上截取BF=CD，连接AF，如图：

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB′=∠ACB，
∴∠B=∠ACB′=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
AB=AC∠B=∠ACDBF=CD，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE=∠CAD+∠CAE=∠DAE，
由①知：∠BAC=2∠DAE，
即∠DAE=12∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE=12∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC−(∠BAF+∠CAE)=12∠BAC，
∴∠FAE=∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
AF=AD∠FAE=∠DAEAE=AE，
∴△FAE≌△DAE (SAS)，
∴FE=DE，
∴BE=FE+BF=CD+DE．
(1)根据三角形内角和定理可得AD与CB′的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM=BM=12BC=12a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD=CM=12a；
(2)当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB′点N，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得到∠BAC=2∠DAE；
②在BC上截取BF=CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF=AD，∠BAF=∠CAD，根据角的和差得到∠FAE=∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE=CD+DE．
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．

28.【答案】2  −1
【解析】解：(1)∵A(1,1)，B(1,−1)，
∴AB=2，
∵AB，A′B′关于直线l对称，
∴A′B′=AB=2，
由题意k=1，
∴y=x+b，
∵A，A′关于直线y=x+b对称，
∴直线y=x+b
经过AA′的中点(32,12)，
∴12=32+b，
∴b=−1，
故答案为：2，−1；

(2)如图1中，作C关于直线l的对称点C′，连接OC′，OA，OA′．

由题意直线l的解析式为y=kx，OC=OC′=2，
∵AB关于直线l的对称线段A′B′在直线l1上，
又∵直线l1经过点C，
∴点C′在直线AB上，
∵A(1,1)，B(1,−1)，
∴点C′的横坐标为1，
∴C′的纵坐标=22−12=3，
∴C′(1,3)，
∴tan∠C′OK=C′KOK=31=3，
∴∠C′OK=60°，
∵OK=OA=1，
∴△AOK是等腰直角三角形，
∴∠AOK=45°，
∴∠C′OA=∠C′OK−∠AOK=60°−45°=15°，
∵A，B，C关于直线l的对称点为A′，B′，C′，
∴∠COA′=∠C′OA=15°；

(3)如图2中，当点B′与Q重合时，则B′(−3,3)，

设BB′的中点为k，则直线l经过点K，
∵B(1,−1)，B′(−3,3)，
∴k(−1,1)，
∴直线BB′的解析式为y=−x，
∵BB′⊥l，
∴直线l使得解析式为y=x+b，
把K(−1,1)代入，可得b=2，

如图3中，当A′与P重合时，则A′(−3,0)，

设AA′的中点为k，则直线l经过点K，
∵A(1,1)，A′(−3,0)，
∴K(−1,12)，
∵直线AA′的解析式为y=14x+34，
∵AA′⊥直线l，
∴直线l的解析式为y=−4x+b，
把K(−1,12)代入，可得b=−72，
∵线段A′B′与线段PQ有公共点，
∴−72≤b≤2．
(1)求出线段AA′的中点，利用待定系数法求解；
(2)如图1中，作C关于直线l的对称点C′，连接OC′，OA，OA′.解直角三角形求出∠C′OK，∠AOK，可得结论；
(3)求出两种特殊情形b的值，判断即可．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．