2022年天津市红桥区中考数学二模试卷（含解析）

2022年天津市红桥区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 计算的结果等于

A.  B.  C.  D.

2. 的值为

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，可以看作是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 据年月日天津日报报道，截至今年月末，天津全市银行和支付机构累计降费亿元，惠及小微企业和个体工商户户，助力中小市场主体野困减负．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

5. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

6. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 方程组的解是

A.  B.  C.  D.

8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

9. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，▱的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
    ；
    ；
    ；
    ；
    若方程有四个根，则这四个根的和为，
    其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 计算的结果等于______．
14. 计算的结果等于______．
15. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______．
16. 若一次函数为常数，的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，则该一次函数的解析式可以是______写出一个即可．
17. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，将沿翻折得到，连接，与交于点，则的长等于______．
    
    
     

18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，在格点上，顶点在网格线上，其外接圆的圆心为．
    Ⅰ的长等于______．
    Ⅱ是上一点，当时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
    Ⅳ原不等式组的解集为______．

20. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高单位：进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图和图．
    
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ本次抽取的麦苗的株数为______，图中的值为______；
    Ⅱ求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．
21. 已知是的外接圆，过点作的切线，与的延长线于点，与交于点．
    如图，若，求的大小；
    如图，若，，求的大小．

22. 如图，在建筑物的顶部处观测正前方横跨河流两岸的桥，测得，两处的俯角分别为和已知桥与建筑物的底部在同一条水平直线上，且，求建筑物的高度结果保留小数点后一位．
    参考数据：，．

23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
    已知家具厂、木材厂、小明家依次在同一条直线上．汽车装好家具后，从家具厂出发，匀速行驶到达小明家；在小明家停留将家具组装完成后，匀速行驶到达木材厂；在木材厂将订购的木材装车后，匀速行驶后返回家具厂．给出的图象反映了这个过程中汽车离开家具厂的距离与离开家具厂的时间之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
家具厂与小明家之间的距离为______；
汽车从家具厂到小明家行驶的速度为______；
汽车从小明家到木材厂行驶的速度为______；
当汽车离小明家的距离为时，其离开家具厂的时间为______
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24. 将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点过边上的动点点不与点，重合作于点，沿着折叠该纸片，得顶点的对应点设，折叠后的与四边形重叠部分的面积为．
    Ⅰ如图，当点与顶点重合时，求点的坐标；
    Ⅱ如图，当点落在第一象限时，与相交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
    Ⅲ当时，求的取值范围直接写出结果即可．

25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，已知，．

Ⅰ求该抛物线的解析式；
Ⅱ在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
Ⅲ点是线段上的一个动点不与点，重合，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
故选：．
利用有理数的减法法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
 

3.【答案】

【解析】解：选项B、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：．
根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
即在到之间，
故选：．
先估算出的范围，再得出选项即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由，得，
将代入，
得，
解得，
将代入，
方程组的解为：，
故选：．
先由，得，然后代入，可得，然后将代入，可求出，即可确定方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．
，，
，在第四象限，且．
，
在第二象限．
．
．
故选：．
由可知，反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；由，可知，在第四象限，且，由可知：在第二象限，，综上所述，结论可得．
本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征．熟记反比例函数图象的性质并熟练运用是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式


，
故选：．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的顶点、、的坐标分别是，，，
顶点的坐标为，即，
故选：．
由平行四边形的性质得，，再由，，的坐标和平移的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．

四边形是矩形，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
点的运动轨迹是射线，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
故选：．
如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于利用全等三角形的性质证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的运动轨迹是射线，属于中考选择题中的压轴题．
 

12.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
抛物线与轴有个交点，
，
，错误．
时，，
，
，
，
，
，正确．
时，为函数最大值，
，
，
，
，正确．
方程的四个根分别为和的根，
抛物线关于直线对称，
抛物线与直线的交点的横坐标为之和为，
抛物线与直线的交点横坐标为之和为，
方程的四个根的和为，错误．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线与轴交点个数可判断，由，时可判断，由时函数取最大值可判断，由函数与直线及直线的交点横坐标为方程的解及抛物线的对称轴为直线可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据单项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可得出答案．
本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：原式

，
故答案为：．
利用平方差公式计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

15.【答案】

【解析】解：从袋子中随机取出个球共有种等可能结果，其中它是红球的有种结果，
所以它是红球的概率是，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】答案不唯一

【解析】解：一次函数为常数，的图象经过点，
．
函数值随自变量的增大而减小，
，
取，此时一次函数的解析式为．
故答案为：答案不唯一．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，由函数值随自变量的增大而减小，利用一次函数的性质可得出，取，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：延长交于，连接．
四边形是正方形，
，，，
，
由翻折的性质可知，，，，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
延长交于，连接证明∽，推出，推出，，由，推出，可得结论．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出，，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
 

18.【答案】  作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求

【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；

Ⅱ如图，点即为所求．

故答案为：作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：Ⅰ，；
Ⅱ平均数是：，
众数是，
中位数是．

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、算数平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
Ⅰ 根据 长的株数和所占的百分比，可以求得本次抽取的麦苗的株数，再根据扇形统计图中的数据，可以计算出 的值；
Ⅱ 根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数，写出众数和中位数．
【解答】
解： Ⅰ 本次抽取的麦苗有： 株 ，
，
故答案为： ， ；
Ⅱ 见答案．   

21.【答案】解：如图，连接、．

，
．
与与相切，
．
．
，
．
．
，
．
．
；
如图，连接．

为的直径，
．
．
，
．
．
．

【解析】【试题解析】

本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
如图，连接、由等腰三角形的性质可知，然后由切线的性质可证明，于是得到，然后依据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质可证明，从而可求得的度数，然后可求得的度数，最后依据圆周角定理可求得的度数；
如图，连接由直径所对的圆周角等于可求得，然后依据平行线的性质可求得的度数，于是可得到的度数，最后依据圆周角定理可求得的度数．
 

22.【答案】解：设米，
由题意得：
，，
在中，米，
米，
米，
在中，，
，
经检验：是原方程的根，
米，
建筑物的高度约为米．

【解析】设米，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】           或

【解析】解：Ⅰ由图象可知：汽车离开家具厂，汽车离开家具厂的距离是，
汽车离开家具厂，离开家具厂的距离是，
汽车离开家具厂，离开家具厂的距离是，
汽车从木材厂返回家具厂，用时小时，行驶路程为，
汽车离开家具厂小时，离开家具厂的距离是，
故答案为：，，；
Ⅱ由图象可知，家具厂与小明家之间的距离为，
故答案为：；
汽车从家具厂到小明家行驶的速度为，
故答案为：；
汽车从小明家到木材厂行驶的速度为，
故答案为：；
当汽车从家具厂出发，离小明家，离开家具厂的时间为；
当汽车从小明家出发，离小明家，离开家具厂的时间为，
故答案为：或；
Ⅲ当时，；
当时，；
当时，，
．
Ⅰ根据函数图象，可以分别得到汽车离开家具厂、、与家具厂的距离；
Ⅱ由图象直接可得答案；用路程除以时间即可得速度；用路程除以时间即可得速度；分两种情况，分别求出对应时间即可；
Ⅲ分三种情况，分段求出函数解析式即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

24.【答案】解：Ⅰ由题意得，
，，
，，
，
由勾股定理得：
，
，
即，
，
，
；

Ⅱ，，
 由知，使落在第一象限，
则，
，
，
是由翻折 得到，

，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，




，

Ⅲ，
由得：，
当时取最大值，单调递减，
，
顶点为抛物线的最高点，顶点的纵坐标为的最大值，
，
，
，
，
．

【解析】Ⅰ由坐标得、的长，再根据勾股定理得的值，从而求出的长，得到坐标；
Ⅱ因为使落在第一象限，，所以可以确定的取值范围；由图可得，所以分别求出三个三角形面积用含的式子表示，其中用到三角函数、勾股定理等；
Ⅲ根据得到的关于的二次函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点在部分，所以顶点的纵坐标是的最大值；再分别计算和时函数值，比较大小，从而求解．
本题属于几何代数综合题，考查勾股定理、三角函数、待定系数法求二次函数解析式及最值，解题关键是结合图形，分析题意综合运用以上知识点，计算比较繁琐．
 

25.【答案】解：Ⅰ将，代入得，
解得，
．
Ⅱ，
抛物线对称轴为直线，
点坐标为，
，
当时，当点在第一象限时，点坐标为，
当点在第四象限时，点坐标为，

当时，
作于点，则，

点坐标为，
综上所述，点坐标为或或．
Ⅲ抛物线对称轴为直线，点坐标为，
点坐标为，

设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
设点坐标为，则点坐标为，则，
四边形面积，
当时，四边形面积的最大值为．
此时点坐标为．

【解析】Ⅰ通过待定系数法求解．
Ⅱ由抛物线解析式求出抛物线对称轴，分类讨论及两种情况，通过数形结合求解．
Ⅲ由点坐标及对称轴求出点坐标，从而可得直线解析式，设点坐标为，则点坐标为，由求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论及数形结合求解．