北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试单元测试一课一练

北师大版初中数学七年级上册第二单元《有理数及其运算》单元测试卷

考试范围：第二单元； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列四个数中，是正整数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的个数是   

加正号的数是正数，加负号的数是负数；

任意一个正数，前面加上“”，就是一个负数；

是最小的正数；

大于零的数是正数；

字母既是正数，又是负数．

A.  B.  C.  D.

3. 如图，数轴上，两点分别对应有理数，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 质检员抽查袋方便面，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数从轻重的角度看，以下记录最接近标准的产品克数的是   

A.  B.  C.  D.

5. 若，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

6. 把五个数填入下列方框中，使横、竖三个数的和相等，其中错误的是

A.  B.  C.  D.

7. 有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和，甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等：两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的张卡片数字和减小了，乙的张卡片数字和增加了，则甲拿取卡片的数量为

A. 张 B. 张 C. 张 D. 张

8. 对于有理数，，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 一根米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是     

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

10. 共享单车为市民短距离出行带来了极大便利。据年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车人次，其中用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

11. 定义运算，如若，且，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

12. 小明面前有两个容积相同的杯子，杯子甲他装了三分之一的清酒，杯子乙他装了半杯的茵陈汁，小强过来将装有茵陈汁的杯子乙倒满了清酒，小明又将杯子乙中液体倒一部分到杯子甲，使得两个杯子的液体份量相同．然后小明让小强先选一杯喝了，如果小强不想多喝清酒，那么他应该选择

A. 甲杯 B. 乙杯
C. 甲、乙是一样的 D. 无法确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若有理数，互为倒数，，互为相反数，则______．
14. 有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第一次输出的结果是，第二次输出的结果是，，请你探索第次输出的结果是______．

15. 从，，，四个数中任取两个不同的数记作，构成一个数对其中，，，，且将与视为同一个数对，若满足：对于任意的和，，都有，则的最大值是          ．
16. 已知，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 规定一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式：

；

．

18. 已知有理数，，，，，且互为倒数，，互为相反数，的绝对值为，求式子的值．
19. 有理数，，在数轴上的位置如图所示：
    比较，，的大小用“”连接；
    若，求的值．
20. 阅读：表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离
    可以看成，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
    探索：
                        
    利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所对应的点到和所对应的点的距离之和为．
21. 找规律：观察算式
    
    
    
    
    按规律填空
    ______；______；
    由上面的规律计算：要求：写出计算过程
22. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
    定义：若一个整数能表示成为整数的形式，则称这个数为“完美数”．
    例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”．
    解决问题：
    已知是“完美数”，请将它写成为整数的形式；
    若可配方成为常数，则______；
    探究问题：已知，求的值．
    已知是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出的值．
23. 某邮局检修队沿东西方向的公路检修线路，规定向东为正，某天自点出发到收工时所走路程为：单位：千米
    ，，，，，，，，，．
    求收工时检修队的位置．
    若每千米耗油升，向从出发点到收工共耗油多少升？
24. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设，，为三角形三边，为面积，则
    这是中国古代数学的瑰宝之一．
    而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设周长的一半，则
    尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以，，为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
    问题探究．经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程可以从或者；
    问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，，，仍记，为三角形面积，则．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单。
正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解。
【解答】
解： ． 是负整数，故选项错误；
B. 是非正整数，故选项错误；
C. 是分数，不是整数，错误；
D. 是正整数，故选项正确。
故选： 。   

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数的概念 根据正数和负数的定义解答即可．
【解答】
解： 加正号的数不一定是正数，如 ，同样，加负号的数不一定是负数，故 不正确；
任意一个正数，前面加上“ ”，就是一个负数，故 正确；
既不是正数，又不是负数，故 不正确；
大于零的数是正数，故 正确；
字母 可以表示正数，也可以表示负数，但不能既是正数又是负数，故 不正确．
正确的有 个．
故选 C ．   

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了数轴，数轴上右边的数总是大于左边的数．
本题要先观察 ， 在数轴上的位置，得 ，然后四个选项逐一分析．
【解答】
解：由数轴可得： ，
A. 因为 ，所以 ，故 A 选项错误；
B. 因为 ，所以 ，故 B 选项错误；
C. 因为 ，所以 ，故 C 选项错误；
D. 因为 ，所以 ，故 D 选项正确．
故选 D ．   

4.【答案】

【解析】略
 

5.【答案】

【解析】略
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解题的关键．由图逐一验证，运用排除法即可选得．
【解答】
解：验证四个选项：
A 、行： ，列： ，行 列，不符合题意；
B 、行： ，列： ，行 列，符合题意；
C 、行： ，列： ，行 列，不符合题意；
D 、行： ，列： ，行 列，不符合题意．
故选： ．   

7.【答案】

【解析】解：甲、乙正面朝上的数字之和相等，反面朝上的数字之和甲减小，乙增加，
甲乙两面的数字之和为，
甲一面朝上的数字之和为，
甲朝上的可能是，，，或者，，，，
则甲朝下的可能是，，，或者，，，，
综上可知，甲拿取卡片的数量为张．
故选：．
根据所有卡片的数字之和为，来确定满足条件的甲朝上的数字可能的情况，即可判断甲拿取了的张数．
本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，异号．
，
，
当时，，则，，
原式．
当时，，则则，．
原式．
故选：．
先判断绝对值里面的代数式的正负再计算．
本题考查绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】略
 

10.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为：。
故选：。
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数。
此题考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。
 

11.【答案】

【解析】解：，且，
，
或，
解得或，
故选：．
根据新定义规定的运算法则可得，再利用绝对值的性质求解可得．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义规定的运算法则得出关于的方程及掌握绝对值的性质．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
杯子甲：；
杯子乙：；
因为，
所以他应该选择乙杯．
故选：．
根据题意可知，杯子甲的饮料先装了三分之一的清酒，杯子乙的饮料先装了半杯的茵陈汁和半杯的清酒；后来两个杯子的饮料分量相同，可知每个杯子的饮料为，依此计算杯子甲和杯子乙中清酒的分量，比较大小即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，关键是求出后来杯子甲和杯子乙中清酒的分量．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意知，，
则原式

，
故答案为：．
根据有理数，互为倒数，，互为相反数，可以求得的值和的值，从而代入计算可得．
本题考查有理数的混合运算、相反数、倒数，解题的关键是明确它们各自的含义，会运用相关知识解答问题．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意可得，
第一次输出的结果是，
第二次输出的结果是，
第三次输出的结果是，
第四次输出的结果是，
第五次输出的结果是，
，
由上可得，输出结果依次以，，循环出现，
，
第次输出的结果是，
故答案为：．
根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第次输出的结果．
本题考查数字的变化类、有理数的加法及乘法，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，求出相应次数的输出结果．
 

15.【答案】

【解析】解：，，，，，，
共有个不同的值．
又对于任意的和，，都有，
的最大值是．
故答案为：．
找出的值，结合对于任意的和，，都有，即可得出的最大值．
本题是一道考查数字的变化类的题型，找出共有几个不同的值是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

17.【答案】解：

；





．

【解析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握给出的新运算是解题关键．
将，代入给出的运算中求出结果即可；
先将中括号里按照给出的新运算求出结果，再利用新运算计算一次即可．
 

18.【答案】解：根据题意得：，，，
所以原式．

【解析】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出，以及的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，以及绝对值的定义是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，，
；
，，，
，
原式．

【解析】直接利用，，在数轴上的位置得出答案；
直接利用绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了有理数的混合运算，正确去绝对值是解题关键．
 

20.【答案】原式，故答案为．
如图所示：

由图可知，符合条件的整数有：，，，，，，，．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：，，，，
，
，
故答案为：，；
由，
，



．

【解析】通过观察可得，即可求解；
由，再结合所得的规律进行运算即可．
本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子运算结果的规律，并能准确计算是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：是“完美数”，
；


，
又，
，，
．
故答案为：；
，
，
，
，，
解得，，
；
当时，是完美数，
理由如下：

，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”．
根据“完美数”的定义判断即可；
利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；
利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

23.【答案】解：千米，
答：收工时检修队在出发点东千米；
升，
答：从出发点到收工共耗油升．

【解析】根据有理数的加法，可得收工时检修队的位置；
根据行车就耗油，由路程乘以每千米的耗油，可得从出发点到收工共耗油．
本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键，注意不论向东还是向西行驶都耗油．
 

24.【答案】解：由得：，
由得：，
；
公式和等价；推导过程如下：
，
，
中根号内的式子可化为：





，
；
连接、、，如图所示：
．

【解析】由公式得：，由得：，；
求出，把中根号内的式子可化为：，即可得出结论；
连接、、，，由三角形面积公式即可得出结论．
本题考查了三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．