初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试单元测试课后测评

北师大版初中数学七年级上册第二单元《有理数及其运算》单元测试卷

考试范围：第二单元； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在，  ，，中正数有

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

2. 如图，数轴上五个点分别表示连续的五个整数，且，则下列说法：
   点表示的数字是；；；。
   正确的有

A.  B.  C.  D.

3. 如果，则

A. 、同号
B. 、异号
C. 、为任意有理数
D. 、同号或、中至少一个为零

4. 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

5. 对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是

A.  B.  C.  D.

6. ，，的代数和比它们的绝对值的和小   

A.  B.  C.  D.

7. 正整数、满足，则等于

A. 或 B.  C.  D.

8. 若，则的值     

A. 是正数 B. 是负数 C. 是非正数 D. 是非负数

9. 如果、、均大于，那么，在、、这三个数中，    最大．

A.  B.  C.  D. 无法判断

10. 如图，，，，是数轴上四个点，点表示数为，点表示的数为，，则数所对应的点在线段上．

A.  B.  C.  D.

11. 当时，下列结论：；；；；；其中一定正确的有　　

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 下列说法：和互为相反数；绝对值等于它本身的数是、；若则、为相反数；读作“的次幂”近似数万精确到十分位；若是有理数，则它的相反数是，倒数是；下列说法正确的是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数小 则的值为          ，的值为          ．
14. 我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则例如，，下列结论中：；当为非负整数时，；满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是______填序号
15. 目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是纳米，已知纳米米，用科学记数法将纳米表示为______米．
16. 庄河十二月份某天上午时气温为，过小时后气温上升了，又过了小时气温又下降，则此时的气温是______

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 某公路检修队乘车从地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下单位：千米：，，，，，，，．
    收工时，检修队在地的哪边？据地多远？
    在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到回到地，汽车共耗油多少升？
    在检修过程中，检修队最远离地多远？
18. 如图，已知数轴上、两点所表示的数分别为和．
    线段长是______；
    若为线段上的一点点不与、两点重合，为的中点，为的中点，请你画出图形，求的长；
    若为数轴上的一点点不与、两点重合，为的中点，为的中点，当点在数轴上运动时；的长度是否发生改变？请你画出图形说明，直接写出你的结论．
19. 阅读第小题计算方法，再类比计算第小题．
    
    解：原式
    
    
    
    上面这种方法叫做拆项法．
    计算：．
20. 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了天中每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”．

请求出这七天中平均每天行驶多少千米？
若每天行驶需用汽油升，汽油价元升，请估计小明家一个月按天计的汽油费用是多少元？

21. 已知、、、均为有理数，其中是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，，、互为倒数，求：
    的值；
    的值．
22. 在东西向的绿道上设有一个岗亭，佳佳从岗亭出发以的速度沿绿道巡逻．规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录单位：如下：

第六次巡逻结束时，佳佳在岗亭的哪一边？

在第几次巡逻结束时，佳佳离岗亭最远？

佳佳一共巡逻多少时间？

23. 已知，，三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，．
    
    填空：______，______：填“”，“”或“”
    若且点到点，的距离相等，
    当时，求的值；
    是数轴上，两点之间的一个动点，设点表示的数为，当点在运动过程中，的值保持不变，则的值为______．
24. 观察下列两个等式：，，给出定义如下：

我们称使等式成立的一对有理数对“，”为“共生有理数对”，记为

通过计算判断数对“，”，“，”是不是“共生有理数对”；

若是“共生有理数对”，求的值；

若是“共生有理数对”，则“，”________“共生有理数对”填“是”或“不是”，并说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正数和负数，先化简再判断正数和负数，注意负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．根据相反数、负数的立方根是负数，可化简各数，根据正数大于零，可得答案．
【解答】
解： ， ， ， ，
故 是正数，
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：表示连续的五个整数，且，
，
于是正确，而不正确，
故选：。
由表示连续的五个整数，且，由他们在数轴上的位置可知，，然后进行判断即可。
考查数轴表示数的意义，理解相反数、绝对值的意义和性质，是正确解答的前提。
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键．分三种类型分别分析即可： 、 同号； 、 异号； 、 中至少一个为零．
【解答】
解：当 、 同号时，有两种情况：
， ，此时 ， ，故 成立；
， ，此时 ， ，故 成立；
当 、 同号时， 成立；
当 、 异号时，则： ，故 不成立；
当 、 中至少一个为零时， 成立．
综上，如果 ，则 、 同号或 、 中至少一个为零．
故选： ．   

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是 ．
由于八个数的和是 ，所以需满足两个圈的和是 ，横、竖的和也是 ，列等式可得结论．
【解答】
解：设小圈上的数为 ，大圈上的数为 ，
，
横、竖以及内外两圈上的 个数字之和都相等，
两个圈的和是 ，横、竖的和也是 ，

则 ，得 ，
，得 ，
， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故选： ．   

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查绝对值，有理数的加法，有理数的减法， 负数一定小于 ，可将各项化简，然后再进行判断．

【解答】

解：． ， 时，原式不是负数，故 错误；

B. ，当 时，原式不是负数，故 错误；

C. ， 当 时，原式才符合负数的要求，故 错误；

D. ， ，所以原式一定是负数，故 正确．

故选D．

6.【答案】

【解析】解：，，
．
故选：．
先求得这个三个数的和，然后再求得它们的绝对值的和，最后用它们绝对值的和减去这三个数的和即可．
本题主要考查的是有理数的加减、绝对值的性质，根据题意列出算式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了整数的乘法，本题中根据 或 分类讨论是解题的关键．易得 、 均为整数，分类讨论即可求得 、 的值即可解题．
【解答】

解： 、 是正整数，且最小的正整数为 ，
是整数且最小整数为 ， 是整数且最小的整数为
，或 ，
存在两种情况： ， ，解得： ， ，；
，解得： ；
或 ，
故选： ．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是有理数的乘法有关知识，根据有理数乘法法则，由，得出与异号，再根据有理数的除法运算法则，得出结果．

【解答】

解：，

与异号，

的值是负数．

故选B．

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了有理数大小比较，有理数除法，解答此题的关键是要明确：两个正数的乘积一定时，其中的一个因数越小，则另一个因数越大．
将除法转化为乘法，根据分数大小比较的方法，判断出 、 、 的大小关系，然后根据两个正数的乘积一定时，其中的一个因数越小，则另一个因数越大，判断出哪个数最大即可．
【解答】
解： ，

又 ，
，
故选 A ．   

10.【答案】

【解析】解：点表示数为，点表示的数为，
，
，
，
点表示的数为，

，
，
数所对应的点在点左侧，
数所对应的点在点之间，
故选：．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了绝对值及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由 小于 ，判断各项中的正确与否即可．

【解答】

解：当 时，

，正确；

，正确；

，正确；

，错误；

，正确．
其中正确的有 个．
故选 D ．

12.【答案】

【解析】解：，，
与互为相反数；
绝对值等于本身的数是和正数；
，
，
、互为相反数；
读作“的次幂的相反数”；
万，
近似数万精确到千位；
是有理数不一定有倒数，没有倒数；
故选：．
，；
绝对值等于本身的数是和正数；
；
读作“的次幂的相反数”；
万，精确到千位；
没有倒数．
本题考查有理数的性质及运算；熟练掌握绝对值、相反数、近似数与精确数、有理数的乘方的运算及意义是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的混合运算，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大 得出 ，解方程求出 的值，再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数小 ，得出 ，解方程求出 的值，进而求出 ， ， ， 的值，即可求出 和 的值．
【解答】
解： 各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大 ，
，
解得 ，
又 各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数小 ，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为 ； ．   

14.【答案】

【解析】解：当时，，而，左边右边，故不成立；
注意到，都是非负数，令左边，则，，则，可得，移项得左边，
即左边左边，式成立．
令，则，又因为，故，所以将代入式中，得，，解得：，又由于知为整数，得或非负整数，所以的非负实数只有两个．故式成立．
故答案为．
先用题中给的“例如”中的数据代入到，得出错；再证明，充分利用题目中的定义进行转化成不等式，从而可解．
本题考查等式与不等式之间的转换，从而才可解，难度较大，常考，要熟练掌握．
 

15.【答案】

【解析】解：纳米米，
纳米米．
故答案为：．
由纳米米，可得出纳米米，此题得解．
本题考查了科学记数法中的表示较小的数，掌握科学记数法是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由题意可列：
故答案为：．
根据题意列式为，易得为．
本题考查了有理数的加减混合运算，关键在于根据题意列式，注意计算要细致．
 

17.【答案】解：，则收工时在地的东边，在地的南边，距地千米；
千米，
升，
答：从地出发到收工回地汽车共耗油升．
，，，，，，，，
以上结果绝对值最大的是：，
该小组离地最远时是在的北边千米处；

【解析】求出各组数据的和．根据结果的正负，以及绝对值即可确定；
求出各个数的绝对值的和，然后乘以即可求得．
该小组离地最远时就是对应的数值的绝对值最大；
本题考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性．
 

18.【答案】

【解析】解：．
线段的长度为如图甲，

为中点，为的中点，
，，
，

线段的长度不发生变化，其值为分下面三种情况：
当点在、两点之间运动时如图甲

当点在点的左侧运动时如图乙

当点在点的右侧运动时如图丙 

综上所述，线段的长度不发生变化，其值为．
根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点、表示的数分别为、，则；
当点在线段上时，，可根据中点性质得到、，相加可得；
当点在数轴上运动时，可分下面三种情况：
点在、两点之间运动时，根据计算可得，
点在点的左侧运动时，根据计算可得，
点在点的右侧运动时，根据计算可得，最后综合三种情况得出结论．
本题考查了线段的计算和中点的性质及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】先进行拆项，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：平均每天路程为千米．
答：这七天平均每天行驶千米．
平均每天所需用汽油费用为：元，
估计小明家一个月的汽油费用是：元．
答：估计小明家一个月的汽油费用是元．

【解析】本题主要考查了正数和负数，利用有理数的运算得出总耗油量是解题关键．
根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程平均数，再加上，可得平均路程；
根据总路程乘以千米的耗油量，可得总耗油量，根据单价乘以总耗油量，可得答案．
 

21.【答案】解：是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，，互为倒数，
，，，．
；
当时，时，

；
当时，时，

；
综上所述，的值为或．

【解析】根据是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，，互为倒数，得到、、、的值，然后代入两个代数式，求出结果即可．
本题考查了有理数的乘法、加减、倒数的意义、绝对值的意义及平方根的相关知识．解决本题的关键是：知道绝对值最小的有理数，最小的正整数及互为倒数的两数间的关系．绝对值最小的数是，没有绝对值最大的数，互为倒数的两数的积是，互为相反数的两数的和为，最小的正整数是，最大的负整数是．
 

22.【答案】解：．
答：第六次巡逻结束时，佳佳在岗亭的东边；
第一次；
第二次；
第三次；
第四次；
第五次；
第六次；
第七次；
答：在第五次巡逻结束时，佳佳离岗亭最远；
，
小时．
答：佳佳一共巡逻小时．

【解析】本题考查了正数和负数，有理数的加法、除法，绝对值，解题关键是解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
把前面六次巡逻记录相加，根据和的情况即可判断佳佳在岗亭的哪一边；
求出每次记录时与出发点岗亭的距离，数值最大的为最远的距离；
求出所有记录的绝对值的和，再除以佳佳的速度，计算即可得解．
 

23.【答案】   

【解析】解：由，，在数轴上的位置可知，，，
，，
故答案为：，
，，
，
，，
，
；
设点表示的数为，点在上，因此，
，
结果与无关，
，
又，即，，
，
故答案为：．
根据，，在数轴上的位置可以判断、、的符号，进而得出，的符号；
求出的值，再根据中点的意义，，求出答案即可；
由结果是定值，说明与无关，可得出与的关系，再根据中点得出与的另一个关系，联立求出即可．
本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：有理数的大小比较法则的内容是：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

24.【答案】解：，
，

不是“共生有理数对”；
，，
是共生有理数对；
由题意得： ，                         
解得 ；
是，
理由：，，
是“共生有理数对”，
，
，
是“共生有理数对”．

【解析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
根据“共生有理数对”的定义即可解决问题．