重庆市第八中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份重庆市第八中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了直线的倾斜角是，复数，直线与圆交于、两点，则，已知与是直线，如果，那么直线经过，设向量等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C．D．
2．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，内角的对边分别为，若，，，则角为（ ）
A．B．或C．D．或
4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．直线与圆交于、两点，则（ ）
A．2B． C． D．
6．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
如图，在正三棱柱中，，则
直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C． D．
8．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．复数的共轭复数记为，则下列运算结果一定是实数的是（ ）
A． B． C． D．
10．如果，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
11．在菱形中，，分别为的中点，则（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量的模为 D．
12．在正方体中，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面
C．异面直线与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积不变
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．若直线与垂直，则实数 ．
14．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为 ．
15．已知复数满足，若（为虚数单位），则 ．
16．已知圆锥的母线长为，轴截面是过该圆锥顶点的所有截面中面积最大的一个，则该圆锥的表面积的最大值为 ．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）
17．（10分）设向量．
（1）若向量，求；
（2）若向量与向量的夹角为，求．
18．（12分）的内角的对边分别为，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，、分别是、中点．
（1）求证：平面；
（2）求与面所成角的正弦值．
20．（12分）如图，现有两辆汽车同时从地出发，沿各自路径匀速前往地．汽车甲路线为，汽车乙路线，两车在地汇合后共同前往下一个目的地．已知，，，甲的行驶速度为，乙的行驶速度为．
（1）求乙到达地这一时刻的甲、乙两车之间的距离；
（2）已知两车车上都配有通话器，通话器的有效通话距离不超过，从乙到达地这一时刻算起，甲乙无法通话的时间为多长？
21．（12分）如图，已知在三棱柱中，四边形为正方形，，，、分别是、的中点，点是线段上的动点．
（1）证明：；
（2）若，若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于两点（在左侧），（为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于两点．
①证明：为定值；②求的最小值．
重庆八中高2023级高一（下）数学期末考试（答案）
1——4．DCAD 5——8．BADC 9．AC 10．ACD 11．ACD 12．ABD
13． 14． 15． 16．
8．当时，最大，此时，
所以，又因为，所以，即．
12．对于A：因为，且，所以平面平面，正确；
对于B：因为，且，所以平面，正确；
对于C：因为，所以异面直线与所成角即为与这两条相交直线所成角，记为，在中，易知，错误；
对于D：，因为，所以，而点在线段上运动，所以点到面的距离保持不变，所以三棱锥的体积不变，正确．
16．如图，记母线长为，底面半径为，记过顶点的截面交底面圆周于两点，
记，轴截面为，则，且，
若，则有，，由，得，从而圆锥表面积：
，
当且仅当时，等号成立．
17．（1），因为，所以，解得；……5分
（2），因为向量与向量的夹角为，所以，解得或．……10分
18．因为，由正弦定理得，
，因为，所以，则，即；……6分
（2）由（1）知，由余弦定理得
，所以的面积，当且仅当时取得最小值．……12分
19． （1）证明：取的中点，连接，，
，分别是，的中点，，，
四边形是正方形，是的中点，，，
且，四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．……5分
（2）解：平面，平面，，
四边形是正方形，，设，
如图以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
故，，，，故，……7分
设面法向量为，则有：，令，则有……10分
设直线与平面所成的角为，则 故直线与平面所成的角的正弦值为．……12分
20．（1）由．
设当乙到达地时，甲处在点，则，
所以在中，由余弦定理得:
，
，即此时甲､乙两车之间的距离为．……5分
（2）设乙到达地后，经过小时，甲､乙两车之间的距离为，
在中， ，
乙从地到达地，用时小时，甲从处到达地，用时小时，
所以当乙从地到达地，此时，甲从处行进到点处，且 ，所以当时，
令或（舍去）……9分
又当时，甲､乙两车间的距离
因为甲､乙间的距离不大于时方可通过通话器取得联系，
所以，从乙到达地这一时刻算起，甲､乙无法通话的时间有小时．……12分
21．（1）证明：取中点，连接，，
，，，△，
，又，，
， 又，，
平面， 又面，．……5分
（2）解：，，，即，
，，，又，
面，，以为坐标原点，
，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，， ，……8分
设面的法向量
由，令，得，……10分
又面的法向量，设面与面所成角为，
则，即面与面所成锐二面角余弦值为．……12分
22．（1）由题设，设圆，对于圆的方程，令，得，其中为该方程的两根，所以．又因为，所以，解得．故圆的标准方程为．……5分
（2）①：由（1）知为方程的两根，解得，即．设，则，
，同理，所以为定值；……10分
②：由①知，所以
，当且仅当点为与圆的交点时取得最小值．……12分