2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14159
2．（3分）下列长度的3条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，4，8 D．5，6，12
3．（3分）点P（﹣5，2）是第几象限内的点（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（3分）二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．﹣5a＜﹣5b B．a﹣5＞b﹣5 C．a2＞b2 D．5a＞5b
7．（3分）关于x的方程2x﹣3m＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜
8．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（　　）

A．160° B．150° C．140° D．110°
10．（3分）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）9的算术平方根是 　 　．
12．（3分）下面三项调查：①检测北京市空气质量；②防疫期间检测某校学生体温；③调查某款手机抗摔能力，其中适宜抽样调查的是　 　．（填写序号即可）
13．（3分）若点P（m+2，m﹣3）在y轴上，则点P的坐标是 　 　．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于1620度，则这个多边形的边数是 　 　．
15．（3分）如果不等式组有解，则m的范围 　 　．
16．（3分）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　．

三、解答题（9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣（﹣）．
18．（6分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．

21．（8分）2021年4月，教育部办公厅做出了《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作》的通知，确保2030年《国家学生体质健康标准》达到规定要求．我校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分：

根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 　 　；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
22．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．

23．（9分）为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
（1）求A、B两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
24．（10分）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式2x﹣5，2﹣x，﹣2有：当2x﹣5+2﹣x＞﹣2时的解集为x＞1，则称2x﹣5，2﹣x，﹣2构成“雅礼不等式”．
（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由；
（2）若ax，a+1，x构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围；
（3）若mx+m，﹣2nx，n构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集．
25．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若B（0，a），C（b，0）且a、b满足+|b﹣9|＝0．则a＝　 　，b＝　 　；
（2）如图1，在（1）的条件下，过点A作直线l∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥l于点D．
①求证：△ABE≌△CAD；
②直接写出A点坐标；
（3）如图2，过点A和点C分别作x轴和y轴的平行线相交于点D，若BC＝BD，试问的比值是否不变，若不变，求出比值；若变化，请说明理由．


2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14159
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：A.，是整数，属于有理数；
B.，是无理数；
C.是分数，属于有理数；
D.3.14159是有限小数，属于有理数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）下列长度的3条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，4，8 D．5，6，12
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能够组成三角形，符合题意；
C、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
D、5+6＜12，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）点P（﹣5，2）是第几象限内的点（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点P的横坐标小于0纵坐标大于0，再根据各象限内，点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：∴点P的横坐标小于0纵坐标大于0，
∴点P一定在第二象限．
∴点P（﹣5，2）在第二象限，
故选：B．
【点评】此本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号特点．
4．（3分）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．（3分）二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数y＝0代入，算出对应的x的值，再把y＝1代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y都是非负整数，
∴y＝0时，x＝10；
y＝1时，x＝7；
y＝2时，x＝4；
y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有4对．
故选：D．
【点评】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键．
注意：最小的非负整数是0．
6．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．﹣5a＜﹣5b B．a﹣5＞b﹣5 C．a2＞b2 D．5a＞5b
【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．若a＞b，则﹣5a＜﹣5b，原变形成立，故本选项不符合题意；
B．若a＞b，则a﹣5＞b﹣5，原变形成立，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2，原变形不成立，故本选项符合题意；
D．若a＞b，则5a＞5b，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
7．（3分）关于x的方程2x﹣3m＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜
【分析】首先解方程，利用m表示出x的值，然后根据x是正数即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的范围．
【解答】解：移项，得：2x＝1+3m，
即x＝，
根据题意得：＞0，
解得：m＞﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
也考查了一元一次方程的解法．
8．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知AB＝DE，AC＝DF，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠ABC＝∠DEF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．BC＝EF
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．
【解答】解：已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠ABC＝∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是∠A＝∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是EB＝CF，可得到BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB＝DE，AC＝DF，添加的一个条件是BC＝EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（　　）

A．160° B．150° C．140° D．110°
【分析】由∠B＝70°得∠BEF+∠BFE＝110°，再根据翻折知∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，即可求出∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．
10．（3分）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据SAS证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解．
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）9的算术平方根是 　3　．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
12．（3分）下面三项调查：①检测北京市空气质量；②防疫期间检测某校学生体温；③调查某款手机抗摔能力，其中适宜抽样调查的是　①③　．（填写序号即可）
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：①检测北京市空气质量，适合抽样调查；
②防疫期间检测某校学生体温，适合普查；
③调查某款手机抗摔能力，适合抽样调查；
故答案为：①③．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
13．（3分）若点P（m+2，m﹣3）在y轴上，则点P的坐标是 　（0，﹣5）　．
【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
【解答】解：∵点P（m+2，m﹣3）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故m﹣3＝﹣5，
故点P的坐标为：（0，﹣5）．
故答案为：（0，﹣5）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，根据y轴上点的横坐标为0得出关于m的方程是解题关键．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于1620度，则这个多边形的边数是 　11　．
【分析】首先设多边形的边数为n，再根据多边形内角和公式可得方程180°×（n﹣2）＝1620°，再解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，由题意得：
180°×（n﹣2）＝1620°，
解得：n＝11，
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数）．
15．（3分）如果不等式组有解，则m的范围 　m＞﹣1　．
【分析】根据题意，画出图形，即可得到m的范围．
【解答】解：如图，∵不等式组有解，
∴m＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集，体现了数形结合的数学思想，关键是理解：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
16．（3分）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　55°　．

【分析】由图示知：∠DFC+∠AFD＝180°，则∠DFC＝35°．通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的对应角相等推知∠BDE＝∠CFD．
【解答】解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝35°，
∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，
∴∠EDF＝55°．
故答案是：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
三、解答题（9个小题，共72分）
17．（6分）计算：+|2﹣|+﹣（﹣）．
【分析】本题涉及三次根式的化简、绝对值化简、二次根式化简，在计算时，需要对每个部分分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝﹣2++3+
＝2﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，关键是熟练掌握三次根式的化简、绝对值的化简、二次根式的化简等．
18．（6分）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣2；
由②得：x≤3；
不等式组的解集为：﹣2＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．

【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图示得出坐标即可；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
（3）△ABC的面积＝．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠ADC的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACD＝∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝62°，
∵在△ABC中，∠A＝72°，∠ACB＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°；

（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC＝∠B+∠BCD＝46°+31°＝77°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
21．（8分）2021年4月，教育部办公厅做出了《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作》的通知，确保2030年《国家学生体质健康标准》达到规定要求．我校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分：

根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 　200　；
（2）m＝　20　，n＝　25　；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
【分析】（1）锻炼时长在0﹣10分钟的频数为60人，占调查人数的30%，可求出调查人数，即样本容量；
（2）求出10﹣20分钟的人数，进而计算出20﹣30分的人数，再根据频数、频率、样本容量之间的关系求解即可；
（3）根据频数补全频数分布直方图；
（4）求出样本中“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生所占的百分比，即可估计总体的百分比，从而计算相应的人数．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）锻炼时长在30﹣40分的人数所占的百分比：50÷200＝25%，因此n＝25，
锻炼时长为10﹣20分钟的人数：200×20%＝40（人），
锻炼时长在20﹣30分钟的人数：200﹣50﹣40﹣60﹣10＝40（人），
锻炼时长在20﹣30分钟的人数所占的百分比：40÷200＝20%，因此m＝20，
故答案为：20，25；
（3）补全频数分布直方图如下：

（4）2000×（25%+5%）＝600（人），
答：估计该校2000名学生中“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的大约有600人．
【点评】本题考查频数分布直方图，总体、个体、样本及样本容量，掌握频数、频率、样本容量之间的关系是正确计算的前提．
22．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．

【分析】（1）根据对顶角和三角形内角和得到∠FBD＝∠CAD，利用AAS定理证明；
（2）由全等可得DF＝DC＝2，BD＝AD＝1+2＝3，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（9分）为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
（1）求A、B两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，由题意：同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种图书n本，B种图书（60﹣n）本，由题意：A种图书的数量少于B种图书的数量，购买总金额不能超过1420元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种图书单价22元，B种图书单价25元；
（2）设购买A种图书n本，B种图书（60﹣n）本，
根据题意得：，
解得：≤n＜30，
∵n为正整数，
∴n可取27、28、29，
∴60﹣n＝33或32或31，
共有三种购买方案：
方案一、购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二、购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三、购买A种图书29本，购买B种图书31本．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
24．（10分）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式2x﹣5，2﹣x，﹣2有：当2x﹣5+2﹣x＞﹣2时的解集为x＞1，则称2x﹣5，2﹣x，﹣2构成“雅礼不等式”．
（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由；
（2）若ax，a+1，x构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围；
（3）若mx+m，﹣2nx，n构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集．
【分析】（1）由x﹣2+x+1＞1，即2x﹣1＞1的解集为x＞1即可得出答案；
（2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可；
（3）分﹣2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞﹣2nx、mx+n﹣2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．
【解答】解：（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”，
∵x﹣2+x+1＞1，即2x﹣1＞1的解集为x＞1，
∴x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”．
（2）①若ax+a+1＞x，即（a﹣1）x＞﹣（a+1），
则a﹣1＞0即a＞1且﹣＝1，
解得a＝0（舍）；
②若ax+x＞a+1，即（a+1）x＞a+1，
则a+1＞0且x＞1，符合题意；此时a＞﹣1；
③若a+1+x＞ax，即（a﹣1）x＜a+1，
则a﹣1＜0，即a＜1且＝1（此方程无解）；
综上，a＞﹣1；
（3）①若﹣2nx+x＞mx+m，即（m+2n）x＜n﹣m，
则m+2n＜0即m＜﹣2n且＝1，
化简得n＝﹣2m，
代入m+2n＜0得﹣3m＜0，即m＞0，则n＜0，
由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即5mx＞3m，
∴x＞，
由2mx＞m+n，得：2mx＞3m，
∴x＞，
此时不等式组的解集为x＞；
②若mx+m+n＞﹣2nx，即（m+2n）x＞﹣（m+n），
则m+2n＞0，﹣＝1，
化简得n＝﹣m，
代入m+2n＞0，得：m＜0，则n＞0，
由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即mx＞m，
∴x＜，
由2mx＞m+n，得x＜，
∴不等式组的解集为x＜；
③若mx+n﹣2nx＞n，即（m﹣2n）x＞﹣（m﹣n），
则m﹣2n＞0，即m＞2n，且﹣＝1，
化简得n＝m，
代入m﹣2n＞0得m﹣m＞0，解得m＜0，
由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即﹣mx＞m，
解得x＞﹣1；
由2mx＞m+n，得2mx＞m，
解得x＜，
∴此时不等式组的解集为﹣1＜x＜．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号．
25．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若B（0，a），C（b，0）且a、b满足+|b﹣9|＝0．则a＝　3　，b＝　9　；
（2）如图1，在（1）的条件下，过点A作直线l∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥l于点D．
①求证：△ABE≌△CAD；
②直接写出A点坐标；
（3）如图2，过点A和点C分别作x轴和y轴的平行线相交于点D，若BC＝BD，试问的比值是否不变，若不变，求出比值；若变化，请说明理由．

【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可．
（2）①根据AAS证明三角形全等即可．
②设BE＝AD＝x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（3）延长DA交y轴于E，过点B作BT⊥CD于T．设OB＝t．想办法求出AD，OC（用t表示），即可解决问题．
【解答】（1）解：∵+|b﹣9|＝0，
又∵≥0，|b﹣9|≥0，
∴，
∴，
故答案为：3，9．

（2）①证明：如图1，

∵直线l∥x轴交y轴于点E，过点C作CD⊥l于点D，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
在△AEB和△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（AAS）．

②解：∵△AEB≌△CDA，
∴BE＝AD，AE＝CD，
设BE＝AD＝m，
∵B（0，3），C（9，0），
∴OB＝3，OC＝9，
∴BC＝＝＝3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝BC＝3，
∵AE＝CD＝3+x，
在Rt△AEB中，则有x2+（3+x）2＝（3）2，
解得x＝3或﹣6（舍弃），
∴BE＝3，AE＝6，
∴A（6，6）．

（3）如图3中，结论：＝．
理由：延长DA交y轴于E，过点B作BT⊥CD于T．设OB＝t．

∵BD＝BC，BT⊥CD，
∴DT＝CT，
∵DE∥OC，CD∥OE，
∴OE＝CD，DE＝OC，
∵CT＝OB＝DT＝t，
∴OE＝CD＝2t，
∴EB＝OB＝t，
∵△AEB≌△CDA，
∴AE＝CD＝2t，BE＝AD＝t，
∴DE＝OC＝3t，
∴＝＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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日期：2022/1/31 21:40:24；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335