2020-2021学年陕西省西安电子技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

这是一份2020-2021学年陕西省西安电子技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年陕西省西安电子技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．刘老师、王老师与四位学生共六人在凌江园排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法种数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，结合分步乘法计数原理可求得结果.【详解】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．若，则的值为A．0 B． C．5 D．255【答案】C【详解】试题分析：令得，令得，所以故选：C【解析】二项式定理的应用3．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】从4个球中随机抽取两个球，共有种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有共2种抽法，从而利用古典概型概率计算公式即可求解.【详解】解：从4个球中随机抽取两个球，共有种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有2种抽法，所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为.故选：C.4．若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ）A．80种 B．40种 C．36种 D．20种【答案】B【详解】将乙丙排好有种，将甲排在乙丙两人之间有一种排法，再将剩下的两人在甲乙丙排好的4个位置进行排列，分两种情况，一种是剩下两人不相邻共有种，另一种是剩下两人相邻有种，所以共有．故选B．【解析】排列组合的综合应用．5．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用二项分布概率计算公式即可解得【详解】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为故选：B【点睛】结论点睛：二项分布概率公式，n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，考查学生的逻辑能力与运算能力，属于基础题.6．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温℃171382月销售量（件）24334055 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（       ）件.A．58              B．40              C．38              D．46【答案】D【分析】根据表格中的数据，求得的值，将代入回归方程，求得的值，得出回归直线方程，代入时，即可求解.【详解】根据表格中的数据，可得，又由点在回归方程上，其中，所以，解得，即，当时，，即估计该商场下个月毛衣销售量约为件.故选：D.7．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（       ）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种【答案】A【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：A.【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：（1）认真审题弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.8．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，其中红球个数的数学期望是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】记同时取出的2个球中红球的个数为X，则，再根据超几何分布的期望公式计算可得；【详解】解：记同时取出的2个球中红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，所以．故选：C9．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于A． B． C． D．【答案】B【分析】先由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求出比赛2场实验女排获胜的概率，再求得比赛3场实验女排获胜的概率，再相加，即得所求．【详解】解：若比赛2场实验女排获胜，概率为，若比赛3场实验女排获胜，概率为，实验女排获胜的概率等于，故选：B．10．1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（       ）（，）A．577 B．537 C．481 D．331【答案】A【分析】设原正三角形边长为，则由正弦定理求出正三角形外接圆半径，根据，落在六角星中的概率，从而求得结果..【详解】设原正三角形边长为，则由正弦定理得，即，所以正三角形外接圆半径为，则，又由题意得凸出来的小正三角形边长为，则，则，所以落在六角星中的豆子数约为．故选：A．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关面积型几何概型的问题，正确解题的关键是掌握相应的概率公式以及图形的面积公式.11．中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（       ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】将名志愿者分成组，根据分组方法可确定共种分组方法；将组志愿者分到个社区，结合分步乘法计数原理可计算求得总的安排种数；利用分组分配的方法可求得甲、乙在同一社区的方法种数，利用总的安排种数减掉甲、乙在同一社区的方法种数即可得到结果.【详解】把名志愿者分成组，每组至少人，则有，两种分组方式，则共有种分组方法；再将分好的组志愿者分到个社区，共有种安排方法；其中，甲、乙在同一社区的有：种，不同的安排方法共有种.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）平均分组问题先选好人后，平均分了组，则除以；（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.12．如果某射击选手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，那么他在次射击中，最有可能击中目标的次数是（       ）A． B． C．10或12 D．【答案】B【解析】设次数为，则他击中次的概率为，列出不等式求出的取值范围即可得出.【详解】假设最可能击中目标的次数为，根据某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，则他击中次的概率为，再由，求得，再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用解题的关键是列出不等式进行求解，要求第k次的概率是最大的.二、填空题13．___________.【答案】【分析】根据组合数的定义及性质即可求解.【详解】解：由题意，，解得，又，所以，所以，故答案为：.14．某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为______【答案】【解析】先判断所有情况，种选择，然后把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法计算恰有两天连续的情况，代入古典概型公式计算.【详解】连续天中随机选择天，有种选择，其中恰好仅有天连续，把连续的天看成一个元素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有种选择，所以所求的概率为．故答案为：【点睛】排列组合的实际应用问题中，一般遇到元素必须相邻的情况，采用捆绑法，遇到元素不能相邻的问题，采用插空法，如果既有相邻也有不相邻的综合情况时，注意先捆绑再插空.15．的展开式的常数项是________．【答案】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数值，再代入通项即可得解.【详解】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式的常数项为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．16．某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的，，3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______种．（用数字作答）【答案】1080【分析】假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，求出此时的方法数，再计算总共的不同的分配方案.【详解】由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有（种），故不同的分配方案有（种）．故答案为：1080【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知灵活选择方法求解.三、解答题17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生人，高三年级共有人，抽取的样本中高二年级有人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：)的频率分布表.分组频数频率合计 （1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数的值（3）已知日睡眠时间在区间内的名高二学生中，有名女生，名男生，若从中任选人进行面谈，求选中的人恰好为两男一女的概率.【答案】（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）.【解析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出的值，再根据高二年级学生样本人数计算出，从而得到其频率的值；（3）记名高二学生中女生为，，男生为，先列出从这名高二学生中任选人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解.【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为人.（2）由题意，解得，，.（3）记“选中的人恰好为两男一女”为事件，记名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选人有以下情况： ；；；；；；；；；，共种情况，基本事件共有个，它们是等可能的，事件包含的基本事件有个，分别为：；；；；；，故，所以选中的人恰好为两男一女的概率为.【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有：①；②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比；（2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数；②求出事件所包含的基本事件个数；③代入公式，求出概率值.18．现有0，1，2，3，4，5六个数字.(1)用所给数字能够组成多少个四位数？(2)用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？(3)用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比3142大的数？（最后结果均用数字作答）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能在首位），再排其它三个位置，注意数字可以重复，（2）利用分步计数原理，第一步先排首位（因为零不能在首位），再排其它四个位置，注意数字不可以重复，（3）利用分类计数原理，比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，然后再分类求出即可．【详解】(1)解：首先排最高位，只能从1、2、3、4、5这5个数中选一个，再排其他三个位置，每个数位上都有6种选法，故能够组成四位数的个数为即能组成四位数有1080个；(2)解：能组成没有重复数字的五位数的个数为；故没有重复数字的五位数有600个；(3)比3142大的数包含四位数、五位数和六位数，其中：六位数有：；五位数有：；四位数有千位是4或5的，千位是3的，而千位是4或5的有；千位是3的分为百位是2、4、5的与百位是1的，百位是2、4、5的有，百位是1的分为十位是4和5两种情况，十位是5的有3种，十位是4的有1种，所以共有．故比3142大的数有1360个．19．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲､乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.(1)你认为选派谁参赛更好？并说明理由.(2)若从甲､乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)选派乙参赛更好，理由见解析(2)分布列见解析，【分析】1）根据茎叶图数据计算、，比较平均数即可判断；（2）依题意可知随机变量的可能取值为，，，计算对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望．【详解】(1)解：选派乙参赛更好，理由如下：根据茎叶图知，，；所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的成绩成单峰分布，方差较小，故选派乙参赛更好；(2)解：随机变量的所在可能取值为，，，所以，，，的分布列为：  0 1 2           所以．20．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为，投资新型项目B的投资额n（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.(1)求y关于x的线性回归方程.(2)根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.【答案】(1)(2)项目的收益更好.【分析】（1）先利用平均数公式求出样本中心点的坐标， 再利用所给公式求出的值，最后将样本中心点的坐标代入回归方程求得的值即可；（2）分别利用所给关系式以及所求回归方程，求出，两个项目投资60万元，该企业所得纯利润的估计值，便可预测哪个项目的收益更好.【详解】(1)由散点图可知，取时，的值分别为，所以，，，则，故关于的线性回归方程为.(2)因为投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；因为关于的线性回归方程为，所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.因为，所以可预测项目的收益更好.21．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物，已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该经济农作物市场价格（元∕kg）3040概率0.40.6 (1)设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列.(2)若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.【答案】(1)的分布列为：2500034000460000.20.50.3 (2)0.896【分析】（1）的所有可能取值为：25000，34000，46000，分别求出相应的概率，即可求出的分布列；（2）设表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元”，则，设这三年中有年纯收入不少于30000元，则，从而即可求解．【详解】(1)解：由题意，，，，，所以的所有可能取值为：25000，34000，46000，设表示事件“作物亩产量为”，则，表示事件“作物市场价格为30元”，则，则，，，所以的分布列为：2500034000460000.20.50.3 (2)解：设表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元”，则，设这三年中有年纯收入不少于30000元，则，所以这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为：．22．已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；（3）求证：【答案】（1）;（2）（3） 详见解析.【详解】试题分析：（1）第一步，先求函数的导数，第二步，定义域内分析的单调区间和极值，分析函数的图像特征，当仅有一个零点时，指只有一个交点；（2）第一步，将代入，分析函数的定义域，第二步做差，求函数的导数，并且判断单调性，根据，讨论当，或 时，与的大小；（3）根据（2）的结论，当时，，再将此式整理成的形式，再通过换元，放缩法，得到所要证明的式子.试题解析：（1）当时，，定义域是.令，得或. 当或时，，当时，，函数在，上单调递增，在上单调递减. 的极大值是，极小值是.；，当仅有一个零点时，实数的取值范围是. （2）当时，，定义域是.令，则在上是增函数. 当时，，即；当时，，即；当时，，即； （3）根据（2）的结论，当时，，即.令，则有，即，即. 【解析】1.导数的应用（求函数的极值，最值，单调性，证明不等式）2.不等式方法的综合应用.