2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知函数在处的导数为2，则（       ）

A．－2 B．2 C．－1 D．1

【答案】B

【分析】利用导数的定义即得.

【详解】∵函数在处的导数为2，

∴.

故选：B.

2．已知函数的部分图像如图所示，为函数的导函数，则与的大小关系为（ ）

A． B．

C． D．无法确定

【答案】A

【解析】导数的绝对值越大图像上升的越快，结合图形即可得出答案.

【详解】解：导数的几何意义就是在点处的切线斜率且导数的绝对值越大图像上升的越快，

所以结合图形可得.

故选：A.

3．一质点的运动方程为（路程S的单位：；时间t的单位：），则该质点在时的瞬时速度为（       ）

A．9 B．12 C．3 D．6

【答案】D

【分析】求导可得，结合题意，当代入，即可求得答案.

【详解】因为，

所以，

所以当时，，

所以该质点在末的瞬时速度为6m/s

故选：D

4．函数在区间上的最大值是，最小值是，若，则（       ）

A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能

【答案】B

【解析】由最大最小相等，可得是常数函数，即可得出结论.

【详解】∵在区间上的最大最小相等，

∴是常数函数，∴，

故选：B.

5．曲线与直线围成图形的面积为（       ）

A． B． C． D．9

【答案】C

【解析】先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，最后依据微积分基本定理求解即可得到答案.

【详解】由直线与曲线，解得或，

所以直线与曲线的交点为和，

因此，直线与曲线所围成的封闭图形的面积是

.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是

A．在上为减函数

B．在处取得最大值

C．在上为减函数

D．在处取得最小值

【答案】C

【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．

详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：

f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．

可知C正确，A错误；

由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．

故选C．

点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.

7．若函数不存在极值点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导函数没有变号零点，结合指数函数的性质，即可得解.

【详解】,由于函数f(x)不存在极值点，所以不存在变号零点，

所以恒成立，即，

故选：D.

8．在正整数范围内定义一种新的运算“”，观察下列算式，，若则n的值为（       ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【分析】根据题意得出运算“”的意义，即表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和，结合可得出关于的方程，解出即可.

【详解】由题意可知，表示的是从开始（包含）的个连续的正整数之和，

由，得，

整理得，

，解得.

故选：C.

9．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为（       ）

A．（-∞，-1） B．（-1，1） C．（1，+∞） D．（-∞，1）

【答案】A

【分析】构造函数，利用已知不等式确定所构函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可.

【详解】构造函数，，

所以函数是实数集上的增函数，

所以由，

故选：A

10．习近平总书记在2022年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标．某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神，面向全体学生开设了体育校本课程．该校学生小烷选完课程后，其他三位同学根据小烷的兴趣爱好对他选择的课程进行猜测．

甲说：“小烷选的不是足球，选的是篮球．”乙说：“小烷选的不是篮球，选的是羽毛球．”丙说：“小烷选的不是篮球，也不是乒乓球．”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小烷选择的课程（       ）

A．可能是乒乓球 B．可能是足球 C．可能是羽毛球 D．一定是篮球

【答案】B

【解析】依次假定小烷的选择，逐一验证得到答案.

【详解】若小烷的选择是乒乓球，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；

若小烷的选择是足球，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；

若小烷的选择是羽毛球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；

若小烷的选择是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；

故小烷可能选择的是足球或篮球.

故选：B

11．已知过点可作两条不同的直线与曲线相切，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设切点坐标为，求出切线的方程，将点的坐标代入切线方程得出关于的二次方程由两个不等的实根，可得出，由此可求得实数的取值范围.

【详解】设切点坐标为，对函数求导得，切线斜率为，

切线在点处的切线方程为，

将点的坐标代入切线方程可得，化简可得，

由题意可知，关于的二次方程由两个不等的实根，则，

解得或.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用过点引切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于将切线的条数转化为切点的个数问题，进而等价转化为方程的根的个数问题求解.

12．已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得有两解，即构造函数利用导数研究函数的单调性，使得和有两交点即可得解.

【详解】函数关于x轴对称的函数为，

根据题意和在上有两个交点，

即所以

令

由

令，可得或

故当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

由，

，，

所以时有两解，

故选：B

二、填空题

13．设函数f(x)的导函数为，若则=___________.

【答案】

【分析】可以求出导函数，进而可得．

【详解】∵，

∴

∴，

解得．

故答案为：.

14．函数在区间上的最小值为___________.

【答案】

【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值；

【详解】解：因为，，所以，即在上单调递减，所以；

故答案为：

15．已知是的导函数，即，……，则（x）=___________.

【答案】

【分析】求出的前5项，找到规律，从而得到.

【详解】，，，，……，故每4次一循环，，故.

故答案为：

16．已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用参变分离可得，构造函数，利用导数求函数最值即得.

【详解】由，可得，

令，则，

∴，函数单调递增，，函数单调递减，

所以时，函数有最大值，

∴.

故答案为：.

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】根据求导法则和复合函数求导即可.

【详解】(1)

(2)

18．已知函数，在处的切线方程是，其中是自然对数的底数.

（1）求实数，的值；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）；（2）极大值1；无极小值..

【分析】（1）计算，，根据函数在处的切线方程，简单计算可得结果.

（2）根据（1）的结论，可得，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.

【详解】（1）由，得，

由在处的切线方程是，知切点为，斜率为，

所以，

解之得．

（2），，令，得，

由表可知，当时，取得极大值1；无极小值.

【点睛】本题查函数在某点处的切线方程求参数以及求具体函数的极值，理解函数在某点处导数的几何意义以及掌握导函数与原函数的关系，属基础题.

19．已知函数．

（1）若，用分析法证明：；

（2）若，，且，求证：与中至少有一个大于．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）要证，只需证，通分作差比较即可（2）假设，，得，，变形为，，两式相加推得矛盾即可证明

【详解】（1）要证，

只需证，

即证，即证，

即证，显然成立，所以．

（2）假设，，即，，

所以，，上述两式相加可得，

这与矛盾，所以假设不成立，

故与中至少有一个大于．

【点睛】本题考查分析法证明及反证法证明不等式，考查推理能力，是中档题

20．已知函数，.

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，求函数的极值.

【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.

【分析】（1）当时，，可得：.，，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；

（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.

【详解】（1）当时，，

所以.

令，得或，

列表如下：

由于，，

所以函数在区间上的最大值为2.

（2），

令，得或.

当时，，所以函数在上单调递增，无极值.

当时，列表如下：

函数的极大值为，极小值为.

【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.

21．已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若曲线与曲线有两条公切线，设公切线切曲线于点A(，f())，切曲线于点B(，g())，其中切点A､B在同一条公切线上，且2，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令利用导数可求；

（2）由题可得，构造函数，利用导数求函数的值域即得.

【详解】(1)当时，令

则

令，可得

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

∴；

(2)由题知

即，得

构造函数，，则

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

∴，

所以可得函数的大致图象，

由图可知，，

∴.

22．已知函数，其中，e是自然对数的底数，

(1)当时，求f（x）的单调区间；

(2)若f（x）在R上恰有三个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为R，无递减区间.

(2)

【分析】（1）二次求导，得到，故求f（x）的单调递增区间为R，无递减区间；（2）参变分离后，构造函数，通过求导，研究其函数图象，数形结合求出a的取值范围.

【详解】(1)当时，则

令，则

令，得

∴当时，，g（x）在上单调递减；

当1时，，g（x）在上单调递增.

∴，故

∴f（x）单调递增区间为R，无递减区间.

(2)∵，∴f（x）的零点

令，可得

设，则

令，得

∴当，h（x）单调递增；

当时.，h（x）单调递减；

当）时，，h（x）单调递增.

因为恒成立，且作出h（x）的大致图像，如图所示，

由图像可知，当时，直线与曲线有三个交点，即f（x）有三个不同的零点，

∴a的取值范围是