2020-2021学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年四川省凉山彝族自治州西昌市高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．从高二文科1班的学生中任意选出两人，两人都是男生的概率为，两人都是女生的概率为，则选出的两人性别不同的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，利用对立事件求解.

【详解】根据题意，两人都是男生的概率为，两人都是女生的概率为，

所以两人性别相同的概率为，

所以两人性别不同的概率为，

故选：B.

2．下列关于回归分析的说法中错误的是（       ）

A．回归直线一定过样本中心

B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C．甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好

D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

【答案】C

【分析】根据回归直线经过样本中心点可判断A选项；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项.

【详解】A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确；

B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；

C选项，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；

D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确；

故选：C.

3．已知函数，则从2到的平均变化率为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平均变化率的意义即可得出．

【详解】函数从2到的平均变化率为：

.

故选：B．

4．已知复数是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由复数的四则运算化简，再由纯虚数的定义得出.

【详解】

因为复数是纯虚数，所以且，解得

故选：A

5．已知定义在R上的函数的导函数图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导函数的图象可得不等式的解，从而可得正确的选项.

【详解】等价于或，

结合图象可得：或，

故选：D.

6．从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数，则取出的两个数的和为5的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概型概率公式即得．

【详解】从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数有：

共15种情况，

满足取出的个数之和为的有三种情况，

所以概率为.

故选：B．

7．复数的共轭复数是，其中i是虚数单位，则的值为（       ）

A．－1 B．－3 C．1 D．3

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则，化简，得到，进而求得的值.

【详解】由复数的运算法则，可得，

因为复数的共轭复数是，即

所以，，所以.

故选：D.

8．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断函数在区间上的单调性，结合零点存在定理列出不等式，解得答案.

【详解】由题意可知：函数在区间上为单调增函数，

故，

解得，

故选：A

9．已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A．m≤1 B．m<1 C．m>1 D．m≥1

【答案】D

【分析】将时，恒成立，转化为，时恒成立求解.

【详解】解：因为函数，且时，恒成立，

所以，时恒成立，

令，则，

令，得或，

当或，，当时，，

所以当时，取得最大值1，

所以，则实数m的取值范围是，

故选；D

10．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为和，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直角三角形边长求得内切圆面积及三角形面积，再结合几何概型中面积型概率公式估计求值.

【详解】由已知得两条直角边分别为和，

则斜边为，

三角形面积，周长，

所以其内切圆半径，

内切圆面积，

所以向上述直角三角形内随机抛掷米粒，落在三角形内切圆内的概率，

故向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒，落在三角形内切圆内的米粒数大约为颗，

故选：B.

11．若函数存在极值点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由存在变号零点，结合三角函数的性质得出的取值范围.

【详解】

令，得，

因为函数存在极值点，所以，即

故选：C

12．已知函数的定义域为D，若对于，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．给出下列四个函数：

①；②；③；④．其中为“三角形函数”的是（       ）

A．①②③ B．②④ C．①③ D．①③④

【答案】C

【分析】理解题意，可知要先求值域，再结合构成三角形的条件判断即可.

【详解】若，，分别为某个三角形的边长，

设为三个数中最大值，则要满足

对于①，，设为三个数中最大值，，故①成立

对于②，，取，不满足题意

对于③，，设为三个数中最大值，，故③成立

对于④，，取，不满足题意

故选：C

二、填空题

13．设i是虚数单位，且，则______．

【答案】0

【分析】由，代入求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

，

故答案为：0

14．高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中x，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本处残差的绝对值是______．

【答案】1.5

【分析】利用回归直线方程，求出的估计值，然后求解残差的绝对值.

【详解】由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是，

当时，，

此方程在样本处残差的绝对值：.

故答案为：1.5.

15．已知向量，（且），，则满足的概率为______．

【答案】

【分析】根据向量数量积的坐标运算可得的所有可能取值，再根据古典概型直接计算概率.

【详解】因为且，所以，

由，，

所以，

解得，

又，所以时，

所以概率为，

故答案为：.

16．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【分析】理解题意，转化为最值问题求解

【详解】由题意得

，时，故在上单调递增，

，时，时

故在上单调递增，在上单调递减，

，解得

故答案为：

三、解答题

17．某校准备施行“禁止智能手机进校园”有关规定，为进一步了解同学们对此项规定的支持程度，学校在全校随机抽取了130名同学进行调查，其中男生比女生多10人，表示反对规定的30人中有10人是女生．

(1)完成下列表格，并判断是否有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”；

(2)从被调查的“反对规定”的同学中，采取分层抽样方法抽取6名同学，再从这6名同学中任意抽取2名，求抽取的2人中有女生的概率．

参考公式：.

【答案】(1)表格见解析，没有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”

(2)

【分析】（1）根据已知数据得出列联表，然后计算可得结论；

（2）把所抽取的6人（4男2女）编号，用列举法写出任取2人的所有基本事件，得出2人中有女生的基本事件，计数后可计算出概率．

【详解】(1)列联表如下：

，

所以没有99%的把握认为“规定是否被支持与性别有关”；

(2)因为反对规定的男生有20人，女生有10人，所以抽取6人中男生4人，可记为a，b，c，d，女生2人，记为A、B，

则从6人中抽取2名同学有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个结果，

其中有女生的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9个结果，则抽取2人中有女生的概率为.

18．已知复数．

(1)若z在复平面中所对应的点在直线上，求a的值；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，最后代入直线方程，即可求出；

（2）根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式及二次函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：因为复数，

所以，所以在复平面内对应的点为，因为在复平面内对应的点在直线上，即为，解得；

(2)解：由所以，

所以当且仅当时取得最小值，所以的取值范围是

19．已知函数，若曲线的切线斜率最小时与直线3x＋y－2＝0平行，

(1)求a的值；

(2)求函数的单调区间及极值．

【答案】(1)

(2)在和上递增，在上递减，，

【分析】（1）直接求导确定导数最小值，令最小值等于即可求解；

（2）直接求导确定单调性和极值即可.

【详解】(1)，

，在x＝a时取得最小值，

要曲线的切线的斜率最小时与直线3x＋y－2＝0平行，

即解得，又，故.

(2)由（1）解得a＝－2，则，

解得x＝－3，x＝－1

∴在和上递增，在上递减，

，.

20．已知函数：．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当x>1时，恒成立，求m的最大值．

【答案】(1)2x＋y＋1＝0；

(2)－5.

【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可求出切线方程；

（2）由题可得对恒成立，利用函数单调性求最值，即可得出结果.

【详解】(1)∵，

∴，又，

则曲线在点处的切线方程为：，

即2x＋y＋1＝0；

(2)当x>1时，恒成立．

∴，即，

令，则在x>1为增函数，

则，

∴，

故m的最大值为－5.

21．已知关于x的方程，记“该方程有两个不等的正实根”为事件A．

(1)设抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，求事件A发生的概率；

(2)对于随机数x、y，且x、，若a＝2x－1，，求事件A发生的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次方程两个正跟列式，找出所有的a、b组合即可；

（2）将三个式子中的a、b全部转化为 的取值范围，并借助几何概型，面积之比等于概率即可求解.

【详解】(1)关于x的一元二次方程有两个不等的正实根，则有 ,

抛掷两枚质地均匀的正方体骰子向上的点数分别为a、b，则总的基本事件个数为36个，事件A有：

①b＝4，a＝3，4，5，6;

②b＝5，a＝3，4，5，6;

③b＝6，a＝4，5，6;

以上共计共11个基本事件，.

(2)对于两个随机数x、y，且x、，a＝2x－1，，

，

，，

所以事件A构成的区域如图中的阴影部分区域如图所示：

阴影部分区域的面积为，

因此，.

22．已知函数．

(1)求函数在内的单调递减区间；

(2)当时，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，令，求得，即可求解；

（2）令，求得，令，

分和两种情况求得函数的最大值，即可证得.

【详解】(1)解：由题意，函数，可得，

令，即，即，解得，

即在的单调递减区间是.

(2)解：令，可得，

令，则，

当时，，单调递减，即在单调递减，

即，所以，

从而在上单调递减，即恒成立；

当时，

由（1）知，的极大值点满足，这些极大值点使得的分子值不变，但分母随x的增大而增大且，

所以当时，，恒成立．

综上可得，当时，得证．