2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（       ）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【答案】C【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；B选项：3点朝上的概率为，B错误；C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；D选项：花色是红桃的概率为，D错误.故选：C.3．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可.【详解】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.故选：B4．已知，，向量与的夹角，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得.【详解】因为向量与的夹角，所以又，解得.故选：B5．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（       ）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.向量方向相同的单位向量是，B选项错误.，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.，所以不是平面的法向量，D选项错误.故选：C6．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱出现的基本事件共有8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，由此能计算出两枚正面、一枚反面的概率.【详解】抛掷三枚古钱出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，故抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为：.故选：B.7．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出直线与直线所成角，进而计算出所成角的余弦值.【详解】由于平面，所以，由于，所以平面.设是的中点，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是直线与所成角，设，所以，所以.故选：D8．若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，设，即，所以，所以在另一组基底下的坐标为.故选：B9．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得．【详解】由题意，又，所以，．故选：C．10．已知，点为轴上一动点，则的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，，当三点共线时，取得最大值，由此可得．【详解】由已知点关于轴的对称点为，，直线方程为，令得，所以直线与轴交点为，，当且仅当是与轴交点时等号成立．故选：A．11．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B12．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题，利用空间内垂直关系，先求出、，接着用余弦定理求出，再用算出高即可.【详解】如图，点为线段的中点，连接，于，由正方体的性质，易得，平面，因为平面，平面，所以，.因为，，所以 ，，同理可得，对于，，所以，故选：B二、填空题13．已知三点共线，则=____ .【答案】【分析】列方程来求得.【详解】依题意：三点共线，所以，即.故答案为：14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____.【答案】【分析】先求得，然后求得两平行直线间的距离.【详解】由于直线与直线平行，所以，直线即，所以两平行直线间的距离为.故答案为：15．已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．【答案】【分析】由题列举包含的基本事件，再根据不经过第一象限得，进而利用古典概型公式求出不经过第一象限的概率．【详解】解：直线，若，，包含的基本事件有，共6种，不经过第一象限，即不经过第一象限，，，即，故有两种基本事件，满足不经过第一象限的有：，共2个，不经过第一象限的概率为．故答案为：．16．正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是______.【答案】【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由等体积法求解【详解】由题意得，到平面的距离，即点到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法得：，为到平面的距离，为到平面的距离，故答案为：三、解答题17．已知的三个顶点，，，求：(1)边所在的直线方程；(2)的面积.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由两点坐标求出直线斜率，写出点斜式方程，化为一般式；（2）求出边的长，再由点到直线距离公式求出边上的高，然后可得三角形面积．【详解】(1)，直线方程为，即．(2)，边上的高为，所以．18．甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．(1)求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；(2)甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)乙随机抽取的两张卡片，基本事件为，其中和为偶数的事件为：，所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为(2)甲、乙分别取出一张卡，基本事件为，其中乙的数字小的事件为：，所以乙获胜的概率为. (1)求恰好答对一个问题的概率；(2)求至少答对一个问题的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)恰好答对一个问题的概率为(2)至少答对一个问题的概率为.20．如图，和所在平面垂直，且,，.求：(1)点到平面的距离；(2)直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等体积法求得到平面的距离.（2）求得到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)，即，由于和所在平面垂直，且交线为，所以平面.所以，所以，，，，设到平面的距离为，,.(2)设到平面的距离为，，，设直线与平面所成角为，则.21．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.(1)求圆的方程；(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得曲线与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆的方程.（2）利用代入法求得的轨迹方程.【详解】(1)由，令，解得或；令，得，所以圆过.设圆的方程为，，解得，所以圆的方程为.(2)设，则，将的坐标代入圆的方程得，即.22．如图，在四棱锥中，底面满足平面，且.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得平面.（2）判断出平面与平面所成的角，进而可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】(1)由于平面，所以，，，由于，所以平面.(2)由（1）得平面，所以，由于，所以，则平面，则，由于平面平面，所以平面，同理可以证得平面.设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知：，所以，所以是平面与平面的夹角，在中，，所以三角形是等腰直角三角形，所以，所以.