2021-2022学年福建省三明市五县高二下学期联合质检考试（期中）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省三明市五县高二下学期联合质检考试（期中）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省三明市五县高二下学期联合质检考试（期中）数学试题一、单选题1．一个物体的运动方程为，其中S的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒时的瞬时速度是(       )A．4米/秒 B．5米/秒 C．6米/秒 D．7米/秒【答案】A【分析】求S关于t的导数，令t＝3即可得物体在3秒时的瞬时速度﹒【详解】由得，当t＝3时，，∴物体在3秒时的瞬时速度是4米/秒．故选：A﹒2．设，且，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定最大数，即，再确定因式的个数，根据排列公式即可求解．【详解】先确定最大数，即，再确定因式的个数，即，所以原式．故选：A3．下列求导运算正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算和复合函数求导数的法则即可求解.【详解】对于A， ，故A不正确；对于B，，故B 正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确.故选：B.4．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.故选：B.5．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断与的值分别是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察出出“杨辉三角”中的数的特点从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行上方（两肩上）的两个数字的和，从而可得答案.【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为12. 从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，即 所以 故选：D6．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，进而根据古典概型计算公式和条件概率公式求解即可.【详解】解：根据题意，一个家庭的三个孩子的性别情况共有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共8种可能的情况，设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，则事件包含：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共7种基本事件，故，这个家庭既有女孩又有男孩的基本事件有：女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共6种，故，所以这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是 故选：D7．若，且，则实数的值为（       ）A．1或 B．或3 C．1 D．【答案】A【分析】利用赋值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.【详解】令，得到，令，得到，∴，即，，解得或.故选：A8．已知，为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，令，利用导数判断函数的单调性，即可判断A；对于B，令，利用导数判断函数的单调性，即可判断B；对于C，令，利用导数判断函数的单调性，即可判断C；对于D，令，利用导数判断函数的单调性，即可判断D.【详解】解：对于A，令，则，所以函数在上递增，所以，即，故A成立；对于B，令，则，所以函数在上递减，所以，即，所以，故B成立；对于C，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以与的大小无法确定，故C不成立；对于D，令，则，所以函数在上递增，所以，即，所以，即，所以，故D成立.故选：C.二、多选题9．(多选)下面是离散型随机变量的是（       ）A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为XB．某人射击2次，击中目标的环数之和记为XC．测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为XD．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X【答案】AB【分析】AB中的值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量，CD中的值是连续的实数值，是不能一一列举的，是连续型随机变量.【详解】根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．故选：AB.【点睛】本题考查离散型随机变量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个.10．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（       ）A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点C．函数在区间上单调递增D．函数在处切线的斜率小于零【答案】BC【解析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.【详解】由图象得时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点.对选项：显然，故错误.故选：BC．【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.11．将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中，下列说法正确的是（       ）A．共有种放法B．恰好有一个空盒，有种放法C．每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有种放法D．把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有种放法【答案】BD【分析】根据每个选项的要求不同，分步讨论，结合排列组合的计算方法，即可得出结果.【详解】解：将个编号分别为，，，的小球放入个编号分别为，，，的盒子中，共有种放法，A项错误；恰好有一个空盒，分三步进行：第一步选择一个空盒，有种方法；第二步个小球中选择两个小球进行捆绑，有种方法；第三步将球放入三个盒子中，有种放法，则有种放法，B项正确；每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，分步进行：第一步先选出个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，假设号球放在号盒子里，其余三个球的放法为，共种，则有恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的放法有种，C项错误；把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，分步进行：第一步从个盒子中选出一个盒子当作空盒，有种选法，再将其余个盒子装球，个盒子分别装，，个球，只要选一个盒子装个球，另外个盒子一定是每个装一个球，有种选法，所以总方法数为种，D项正确.故选：BD.12．已知函数在上有两个不同的零点，则实数可能取到的值为（       ）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】令可得，设，转化问题为与在上有两个不同的交点，利用导函数判断的单调性和最值，即可求得的范围，根据选项可得到答案.【详解】令，即，所以，因为函数在上有两个不同的零点，设，则与在上有两个不同的交点，因为，令，则，，因为在上，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，；当时，，因为与在上有两个不同的交点，所以，根据选项，符合条件的为B，C，故选：BC三、填空题13．设随机变量的分布列为，则___________.【答案】【分析】由分布列的性质列式求解，再根据的含义代入概率公式求解.【详解】由题意，，所以，得，所以.故答案为：14．的展开式中的系数为________．【答案】【分析】由题意可知，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.【详解】解：由题意可知，展开式的通项公式为由于要求展开式中的系数，所以，.则展开式中的系数为.故答案为：.15．已知函数 (为实数，且)在区间上的最大值为，最小值为，则的解析式为________________________．【答案】【详解】令得当时, 单调递增,当时, 单调递减, ,即,故填.16．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先求，的值域，结合函数的图象，将问题转化为在，的值域内任取m，则直线与函数，的图象只有一个交点，然后可得.【详解】，解得或，解得所以在上单调递减，在单调递增，所以当时，在上的最小值为0，又，所以在上的最大值为.因为，由图可知，要使有唯一解，则因为对任意的，存在唯一的，使得，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：四、解答题17．从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．(1)共有多少种不同的选派方法？(2)若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？(3)若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）【答案】(1)7200 （2）720 (3) 6336【详解】(1)先选后排.所以有种.(2)先满足女生甲担任语文科代表,然后再选3男1女，担任其它学科课代表.有种.（3）要分两类研究：一是选出男生乙,满足条件应该有种.二是没选出男生乙种.所以共有种方法18．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第4项与第8项的二项式系数相等；条件②：只有第6项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为1024．问题：在的展开式中，________．求：(1)展开式中的系数；(2)含的整数次幂的项分别是哪几项．【答案】(1)(2)展开式的第3项、第6项、第9项均为含的整数次幂的项．【分析】（1）根据所选条件，求出，再写出二项式展开式的通项，令，求出，再代入计算，即可得到展开式中的系数；（2）根据题意可得，即可列出满足条件的，即可得解；【详解】(1)解：选①：因为，所以；选②：因为只有第6项的二项式系数最大，所以，则；选③：因为所有项的二项式系数的和为1024，则，则； 所以的展开式的通项，令，得，的展开式中的系数为；(2)解：根据题意，得，令，则，即，，应为偶数，又，可取2，0，，即可2，5，8，展开式的第3项、第6项、第9项均为含的整数次幂的项．19．甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．(1)如果是依次不放回地从乙箱中抽取个产品，求第次取到次品的概率；(2)若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是个正品的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设“第次从乙箱中取到次品”，根据全概率公式直接计算即可；（2）设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出个正品个次品”，事件 “从甲箱中取出个产品都是次品”，利用全概率公式可计算得到，根据条件概率公式可求得结果.【详解】(1)设“第次从乙箱中取到次品”，；则，，，.(2)设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出个正品个次品”，事件 “从甲箱中取出个产品都是次品”，则彼此互斥，且，则，，，，，，，从甲箱中取出的是个正品的概率即为发生的条件下发生的概率，.20．已知函数 (为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.(1)求的值及函数的极值； (2)证明：当时，．【答案】(1) ；当时， 取得极小值，且极小值为， 无极大值；(2)祥见解析．【详解】试题分析：(1)利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g（x）=ex-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．试题解析：(1)由得.又，得.所以，.令，得.当时，，单调递减；当时，， 单调递增．所以当时， 取得极小值，且极小值为， 无极大值．(2)证明：令则.由(1)得，，故在上单调递增，又，所以当时，，即【解析】１．利用导数求函数的极值；２．利用导数证明不等式．21．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列．【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)分布列见解析【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；（2）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.【详解】(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：；乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；，，∴甲进入决赛可能性最大(2)，整理得，解得或，又，；∴丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，进入决赛的人数为可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为1234 22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点．(i)求实数的取值范围；(ii)．【答案】(1)答案见解析；(2)(i)；(ii)证明见解析﹒【分析】(1)求f(x)的导数并通分分解因式，根据a的范围讨论导数的正负即可判断f(x)的单调性；(2)(i)若函数有两个零点，根据(1)中f(x)单调性可知a＞0且，解出a的范围，证明其有两个零点即可；(ii)不妨设，要证，即证，即证，即证，.构造函数，，证明h(x)＜0即可．【详解】(1)，时，时，，单调递减；时，时，，单调递增；时，，单调递减；综上，当时，在上单调递减；当时，在单调递增，在单调递减．(2)(i)由(1)可知，当时，在上单调递减，最多一个零点，不合题意；当时，则f(x)的最大值，令，，在上单调递增，∵，∴由，∵，∴f(x)在()存在唯一零点；，设，，在单调递减，则，∴，∴f(x)在(a，3a－1)上存在唯一零点；综上，当时，f(x)有两个零点，一个在()上，一个在(a，3a－1)上；故a的取值范围是；(ii)不妨设，由(i)知，要证，则要证，在上递减，即证，∵，即证，即证，设，则，在上递增，，即，即式成立，．