2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：，则.

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题.

2．已知圆的方程为，则圆心的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.

【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.

故选：A.

3．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（       ）

A．12 B．32 C．36 D．37

【答案】C

【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.

【详解】数列的前6项之和为.

故选：C.

4．已知点到直线的距离为1，则m的值为（       ）

A．或 B．或15 C．5或 D．5或15

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】解：点到直线的距离为1，

解得：m=15或5．

故选：D.

5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，

由题意可得即，可得

由可得，

故选：A.

6．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.

【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，

故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，

由已知可得，得，，则，

因此，点的轨迹方程为.

故选：D.

7．在四面体中，，，，且，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】解：由题知，

故选：B.

8．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对进行赋值即可求解.

【详解】解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列

所以

因为是以1为首项，2为公比的等比数列

所以

由得：

当时，即

当时，

当时，

所以n的最大值是.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．设是两个空间向量，则一定共面

B．设是三个空间向量，则一定不共面

C．设是两个空间向量，则

D．设是三个空间向量，则

【答案】AC

【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．

【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；

对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；

对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；

对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．

故选：AC．

10．已知点P在圆上，点，，则（       ）

A．直线与圆C相交 B．直线与圆C相离

C．点P到直线距离小于5 D．点P到直线距离大于1

【答案】BC

【分析】利用点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系，进而判断选项A和B，再由圆上一点到直线距离的最大最小值即可判断选项C和D.

【详解】解：圆

所以圆心为，半径为

因为，

所以直线的方程为：

对A，圆心到直线的距离为，所以直线与圆C相离，故A错误；

对B，由选项A的分析知，直线与圆C相离，故B正确；

对C，由选项A的分析知，圆心到直线的距离为，所以圆上一点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，因为，所以点P到直线距离小于5，故C正确；

对D，由选项C的分析知，圆上一点到直线的距离的最小值为，故D错误.

故选：BC.

11．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（       ）

A．椭圆的方程为 B．椭圆的离心率为

C． D．

【答案】AD

【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.

【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，.

对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对；

对于B选项，椭圆的离心率为，B错；

对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点，

将代入椭圆方程可得，故，C错；

对于D选项，，故，D对.

故选：AD.

12．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．是等比数列 C． D．

【答案】ABD

【分析】先由分析出数列的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可.

【详解】解：数列中，，，

所以，即

因为，所以

所以

所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列

所以

对A，，故A正确；

对B，由分析知，是等比数列，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列.

三、填空题

13．已知空间向量，且，则___________.

【答案】

【分析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求出的值即可.

【详解】由已知可得，解得.

故答案为：.

14．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且，则抛物线C的准线方程为___________.

【答案】

【分析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解.

【详解】解：直线与抛物线相交于A，B两点

设，

直线与抛物线联立得：

所以

所以

即

解得：

所以抛物线C的准线方程为：.

故答案为：.

15．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.

【答案】

【分析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值.

【详解】解：由题意，设，，

因为

即

两边平方整理得：

所以圆心为，半径

因为的面积的最大值为3

所以，解得：

因为椭圆的离心率

即，所以

由得：

所以面积的最小值为：

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值.

四、双空题

16．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________，___________.

【答案】         

【分析】利用题中所给规律求出即可.

【详解】解：由图可知，，，，，

因为符合等差数列的定义且公差为

所以，

所以，

故答案为：，.

五、解答题

17．已知圆的圆心为，且经过点.

(1)求圆的标准方程；

(2)已知直线与圆相交于、两点，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.

【详解】(1)解：圆的半径为，

因此，圆的标准方程为.

(2)解：圆心到直线的距离为，

因此，.

18．在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.

问题：已知为数列的前项和，，且___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；

（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.

【详解】(1)由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，

若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；

若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；

若选③：由，即，所以数列的通项公式为；

(2)由（1）得，所以数列为等差数列，所以.

19．如图，正三棱柱中，D是的中点，.

(1)求点C到平面的距离；

(2)试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)平行，证明过程见解析.

【分析】（1）利用等体积法即可求解；

（2）利用线面平行的判定即可求解.

【详解】(1)解：正三棱柱中，D是的中点，

所以，，

正三棱柱中，

所以

又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为

且平面中，

所以平面

又平面

所以

设点C到平面的距离为

在三棱锥中，

即

所以点C到平面的距离为.

(2)与平面的位置，证明如下：

连接交于点，连接，如下图所示，

因为正三棱柱的侧面为矩形

所以为的中点

又因为为中点

所以为的中位线

所以

又因为平面，且平面

所以平面

20．已知三点共线，其中是数列中的第n项.

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；

(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.

【详解】(1)三点共线，

(2)

       ①

   ②

①—②得

21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，.

(1)证明：平面；

(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质得出直线与平面垂直，进而得出平面；

（2）建立空间直角坐标系即可求解.

【详解】(1)证明：因为平面平面，交线为

且平面中，

所以平面

又平面

所以

又，且

所以平面

(2)解：由（1）知，平面且

所以、、两两垂直

因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，，，设

所以，，，，

由（1）知，平面

所以为平面的法向量且

因为直线与平面所成角的正弦值为

所以

解得：

所以，又，，

所以，，，

设平面与平面的法向量分别为：，

所以，

令，则

令，则，，即

设平面与平面夹角为

则

所以平面与平面夹角的余弦值为.

22．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.

【答案】(1)

(2)不能，理由见解析.

【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；

（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.

【详解】(1)解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是

则

等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

(2)解：点不能为线段的中点，理由如下：

由（1）知，曲线C的方程为：

过点的直线斜率为，，

因为过点的直线与曲线C相交于两点，

所以，两式作差并化简得：①

当为的中点时，则，②

将②代入①可得：

此时过点的直线方程为：

将直线方程与曲线C方程联立得：

，

，无解

与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点不能为线段的中点

【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.