2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为，，则.故选：A2．在中，“”是“角，，成等差数列”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】若，则，若，，成等差数列，则，得到答案.【详解】在中，若，则，所以，，成等差数列，充分性成立.反之，若，，成等差数列，则，因为，所以，必要性成立.所以“”是“角，，成等差数列”的充要条件.故选：C.3．若，则z=（       ）A．1–i B．1+i C．–i D．i【答案】D【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.【详解】因为，所以.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.4．已知圆O：，直线与圆O相切，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直线与圆相切，所以圆心O（0，0）到直线：的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式列方程可得结果【详解】解：直线l与圆O相切，则圆心O（0，0）到直线：的距离等于半径2，所以，得．故选：C．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题5．如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用，，表示为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由题意．故选：A．6．两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（   　）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，由两平行线间的距离公式可得：两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.故选：B.7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，由焦点坐标求得．【详解】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，，．故选：C．8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（       ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：则、，设，∵，∴，两边平方并整理得：，所以圆的半径为，∴面积的最大值是.故选：D．二、多选题9．下列函数中在区间上单调递减的函数有（       ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图像的平移变换判断；C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图像的平移变换判断；【详解】A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；B选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意；C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减， 上单调递增，符合题意；D选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。故选：BC10．下列说法正确的是（       ）A．直线必过定点（2，1）B．直线在轴上的截距为－2C．直线的倾斜角为120°D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【答案】ACD【解析】代入点的坐标判断A，求出纵截距判断B，求出斜率得倾斜角，判断C，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得，判断D．【详解】，所以点在直线上，A正确；对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；直线的斜率为，倾斜角为，C正确；设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，所以，所以，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法．掌握直线的概念与特征是解题关键．11．若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(       )A． B．圆关于直线对称C．圆与y轴相切 D．的最大值为9．【答案】ABD【分析】对于选项A：首先根据已知条件写出圆的标准方程，然后化成圆的一般方程即可求解；对于选项B：判断圆心是否在直线上即可判断选项是否正确；对于选项C：利用圆心到轴的距离与半径的大小关系即可判断选项是否正确；对于选项D：利用圆上一点到定点的距离的最大值为圆心到定点的距离与半径之和即可求解.【详解】由题意，以为圆心，4为半径的圆的标准方程为：，化成圆的一般式为：，故A正确；对于选项B：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；对于选项C：圆心到轴距离，则圆与y轴相交，故C错误；对于选项D：的几何意义为圆上任意一点到点的距离，从而 的最大值为圆心到点距离与半径之和，故的最大值为，故D正确.故选：ABD.12．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（       ）A．B．直线与直线的斜率之积为C．存在点满足D．若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，，A错；设，则，，所以，B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，，，则，，D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．三、填空题13．已知，，则 ____________【答案】【分析】求出，即可求出模.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：.14．已知数列{an}的首项为a1=1，若an+1=an+，则此数列的第4项是____________【答案】【分析】根据数列的递推式进行求解即可【详解】由，可得，,,;故答案为：15．已知函数，若函数存在两个零点,则实数的取值范围是__________【答案】.【详解】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)的图象如图：当x⩽0时，0<f(x)⩽1，当x>0时，f(x)∈R，∴要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1].点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16．已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．【详解】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，所以，所以，所以双曲线的离心率为：.故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查．四、解答题17．等差数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)若，求n的最小值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.【详解】(1)解：设的公差为d，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为．(2)解：由，可得，根据二次函数的性质且，可得单调递增，因为，所以当时，，故n的最小值为12．18．已知中，角､､的对边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题设条件和正弦定理化简得到，进而求得的大小；（2）由（1）知，结合题设条件和余弦定理，即可求得的值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，可得，所以，可得，又因为，所以.（2）由（1）知，又由，，由余弦定理可得，所以.19．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由四边形是矩形，得，根据线面垂直的性质得出，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，最后根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，得出各点坐标和所需的向量坐标，利用空间向量法求出平面的法向量，最后利用空间二面角的公式，即可求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)证明：因为四边形是矩形，所以，因为平面，且平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，且点是棱的中点，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)解：以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设则，，，，从而，，，设平面的法向量，则，令，得，因为平面的一个法向量为，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为； (2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.【点睛】圆的方程求解方法：（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.21．今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识､健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率.【答案】（1），80分是成绩的75百分位数；（2）71分；（3）.【分析】（1）利用频率和为1，列方程可求出a的值，先求出80 分以上的频率，然后求出可求出80分是成绩的多少百分位数；（2）利用加权平均数的公式直接求解；（3）先求出成绩落在区间内的员工有6人，然后利用列举法列出所有的情况，从而可求出概率【详解】解：（1），解得；，所以80分是成绩的75百分位数.（2）(分)；所以这次知识竞赛的平均成绩是71分.（3）这次知识竞赛成绩落在区间内的员工有名.记“至少有一个男性员工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，则样本空间.，所以.答：至少有1名男性员工被选中的概率为.22．已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.（1）求的标准方程；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）由椭圆所过点及离心率，列方程组，再求解即得；（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；（3）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理求得，，再结合为等边三角形的条件即可作答.【详解】（1）显然，半焦距c有，即，则，所以椭圆的标准方程为；（2）设，，，，由(1)知，，两式相减得，即，而弦的中点，则有，所以；（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知，设直线的方程为，由得：，则，，于是得，从而得点，，因为等边三角形，即有，，因此，，，从而得，整理得，无解，所以在y轴上不存在点，使得为等边三角形.