2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若集合M＝{－1，0，1}，集合N＝{0，1，2}，则M∪N＝(       )A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}【答案】D【分析】根据集合的并集运算方法计算即可.【详解】∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，∴M∪N＝{－1，0，1，2}.故选：D.2．（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.3．已知向量，，“”是“或”的（       ）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】分别判断充分性和必要性即可.【详解】由题意，由或可得，由还可得到非零向量，满足．故向量是或的必要不充分条件．故选：B.4．下列区间中，函数单调递增的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的单调区间，然后对进行取值，求出具体的一个单调增区间，考查选项中的区间与增区间的包含关系即可得解.【详解】，令，，解得，.当 时，单调递增区间为，，故在单调递增.故选:A.5．设实数x，y满足，则的最小值为（       ）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.6．双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为（       ）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】由题可得，即可求出离心率.【详解】由已知一条渐近线的倾斜角为60°，可得渐近线斜率，∴，故.故选：D.7．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根据以及可求出结果.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以．而，∴．故选：C．8．如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出截面，然后可得答案.【详解】如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.故选：C9．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.【详解】依题意，半径为2的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为.故选：B.10．已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，则以为直径的截面面积为最小值，则 为等边三角形球的半径为则球的表面积为.故选：D.11．已知随机变量X，Y分别满足，，且期望，又，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，再由可得.【详解】且，知，所以，又，，所以.故选：D.12．已知整数数列满足，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累加法可得解.【详解】因为，且是整数数列，所以，则，，，，累加得故，故选：B.二、填空题13．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】由题设，则切线的斜率，而，所以曲线在点的切线方程为，即.故答案为：14．的展开式中x的系数为___________（用数字作答）.【答案】【分析】首先写出展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；【详解】解：展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为；故答案为：15．若，，且，则实数的值为_____．【答案】或【分析】运用正切两角和公式及对数的运算性质可求解.【详解】因为，所以，即，化简得，所以或，解得或.故答案为：或16．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则______.【答案】【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解.【详解】如图所示：由抛物线的定义可得，.又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得.故答案为：三、解答题17．已知等差数列{}的前n项和为，．(1)求等差数列{}的通项公式；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}的首项和公差，由此求得.（2）根据等比数列前项和公式求得.【详解】(1)设等差数列{}的首项为，公差为，，所以.(2)，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.18．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，的周长为6，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出；（2）根据周长得到，再根据余弦定理可求出，然后由三角形的面积公式可得结果.【详解】(1)∵，∴由正弦定理得：，∴，∵，∴，∵，∴.(2)∵的周长为6，得，由余弦定理得：.可得，即.解得，∴，所以的面积为.19．“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如下茎叶图.(1)计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为）和方差（记为，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.(2)记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635 “冰雪运动强国”非“冰雪运动强国”合计欧洲国家   其它国家   合计    【答案】(1)答案见解析(2)列联表见解析，没有【分析】（1）由茎叶图及平均值的定义计算，再由方差的定义计算，据此作出结论，说明理由即可；（2）根据所给数据列出2×2列联表，计算，与所给参考数据比较得出结论.【详解】(1)由茎叶图中数据，得由此可见（开放式问题，能够做出判断并自圆其说即可）：（例）.可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为条件不足，无法判定这个样本是否足以反映整体的情况，利用平均值和方差进行分析未必客观；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为样本中欧洲国家的数量少于其他国家的数量，就可能存在图中的数据本就来自于实力较强的欧洲国家的情况.(2)由题意得2×2列联表如下： 冰雪运动强国非冰雪运动强国合计欧洲国家8311其它国家41014合计121325 由独立性检验，的观测值，所以没有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关.20．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点．(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，得答案；（2）结合（1）和已知条件，得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】(1)证明：取中点，连接，．为等边三角形，．，是的中点，为中点，∴．又，平面．(2)解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以，所以两两垂直，以中点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，因为所以，设平面的法向量为，，则，即，令，故，设平面的法向量为，，则，即，令，故所以，所以二面角的余弦值21．已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)过且斜率存在的直线AB交椭圆C于A、B两点，记，若t的最大值和最小值分别为、，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合离心率和可求出，即可得解；（2）设直线AB的方程为，设点，，联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，，利用，求出，再根据判别式法求出和，再相加即可得解.【详解】(1)椭圆的离心率，又，∴.∵椭圆经过点，所以，解得，∴椭圆C的方程为.(2)设直线AB的方程为，设点，，由消去并整理得.因为点在椭圆内部，则，由韦达定理可得：，（），，，则∴，整理得：，即，，若，可得，此时；若，即当时，则，整理可得，解得，所以，，所以.22．设函数．(1)若，当时，求证：；(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）构造利用导数研究其单调性，进而可得即可证结论.（2）由题设得，构造并讨论的范围，利用导数研究的符号，即得的符号，即可判断的区间单调性，结合区间零点个数确定m的范围.【详解】(1)令，则，当有，即在单调递减，又，所以，即，即，所以当时，得证.(2)由，，可得，令且，其开口向上且对称轴为，又，，当时，，即，单调递增，则，此时在上没有零点，不合题意；当时，则，设使得，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，因为，要使在上存在唯一零点，则满足，解得，当时，在上恒成立，即，在上递减，所以，故在上没有零点，不合题意.综上，实数m的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问，对求导后构造且，根据二次函数的性质、讨论并结合区间零点个数，利用导数判断符号即的符号.