2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若集合M＝{－1，0，1}，集合N＝{0，1，2}，则M∪N＝(       )A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}【答案】D【分析】根据集合的并集运算方法计算即可.【详解】∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，∴M∪N＝{－1，0，1，2}.故选：D.2．（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.3．已知向量，，“”是“或”的（       ）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】分别判断充分性和必要性即可.【详解】由题意，由或可得，由还可得到非零向量，满足．故向量是或的必要不充分条件．故选：B.4．要得到函数的图象，只要将函数的图象（     ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】根据图象平移的规律“左加右减”即可判断【详解】对于A将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，所以A错误对于B所以将的图象向右平移个单位即可得到函数的图象所以B正确对于C将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象所以C错误对于D将的图象向右平移个单位即可得到函数的图象所以D错误故选：B5．已知等差数列满足，，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．2023【答案】B【分析】先求得公差，由此求得.【详解】设等差数列的公差为，则，所以.故选：B6．双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为（       ）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】由题可得，即可求出离心率.【详解】由已知一条渐近线的倾斜角为60°，可得渐近线斜率，∴，故.故选：D.7．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根据以及可求出结果.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以．而，∴．故选：C．8．如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出截面，然后可得答案.【详解】如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.故选：C9．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列举法求解，先列出这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况，再找出所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的情况，然后根据古典型的概率公式求解即可【详解】分别为表示冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目，则这5个项目随机选择2个比赛项目的所有情况有：，共10种，其中所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的有：，共7种，所以所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为，故选：D10．设实数x，y满足，则的最小值为（       ）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.11．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.【详解】依题意，半径为2的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为.故选：B.12．已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，则以为直径的截面面积为最小值，则 为等边三角形球的半径为则球的表面积为.故选：D.二、填空题13．曲线的一条切线的方程为，则实数______．【答案】9【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据切点即在在曲线上也在切线上建立方程求解即可.【详解】设切点为，因为，所以，又，所以，即，解得，所以.故答案为：14．已知等比数列的前项和，则实数___________.【答案】【分析】由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.【详解】由题设，易知等比数列的公比为，根据等比数列前n项和公式，∴.故答案为：15．函数的最小正周期为________．【答案】【分析】化简得到，进而求出最小正周期.【详解】，所以最小正周期为，故答案为：16．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则______.【答案】【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解.【详解】如图所示：由抛物线的定义可得，.又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得.故答案为：三、解答题17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，的周长为6，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出；（2）根据周长得到，再根据余弦定理可求出，然后由三角形的面积公式可得结果.【详解】(1)∵，∴由正弦定理得：，∴，∵，∴，∵，∴.(2)∵的周长为6，得，由余弦定理得：.可得，即.解得，∴，所以的面积为.18．“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如下茎叶图.(1)计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为）和方差（记为，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.(2)记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635 “冰雪运动强国”非“冰雪运动强国”合计欧洲国家   其它国家   合计    【答案】(1)答案见解析(2)列联表见解析，没有【分析】（1）由茎叶图及平均值的定义计算，再由方差的定义计算，据此作出结论，说明理由即可；（2）根据所给数据列出2×2列联表，计算，与所给参考数据比较得出结论.【详解】(1)由茎叶图中数据，得由此可见（开放式问题，能够做出判断并自圆其说即可）：（例）.可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为条件不足，无法判定这个样本是否足以反映整体的情况，利用平均值和方差进行分析未必客观；.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为样本中欧洲国家的数量少于其他国家的数量，就可能存在图中的数据本就来自于实力较强的欧洲国家的情况.(2)由题意得2×2列联表如下： 冰雪运动强国非冰雪运动强国合计欧洲国家8311其它国家41014合计121325 由独立性检验，的观测值，所以没有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关.19．如图所示的四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】(1)根据给定条件证得及即可推理作答.(2)由给定条件可得点到平面的距离是点到平面的距离的，再借助三棱锥等体积法转化求解即得.【详解】(1)在中，，为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，则，又底面是正方形，，分别是，的中点，即，因，平面，所以平面.(2)因为的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的，如图， 因此，，所以三棱锥的体积为.20．已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)过且斜率存在的直线AB交椭圆C于A、B两点，记，若t的最大值和最小值分别为、，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合离心率和可求出，即可得解；（2）设直线AB的方程为，设点，，联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，，利用，求出，再根据判别式法求出和，再相加即可得解.【详解】(1)椭圆的离心率，又，∴.∵椭圆经过点，所以，解得，∴椭圆C的方程为.(2)设直线AB的方程为，设点，，由消去并整理得.因为点在椭圆内部，则，由韦达定理可得：，（），，，则∴，整理得：，即，，若，可得，此时；若，即当时，则，整理可得，解得，所以，，所以.21．已知函数（为常数）的图象与y轴交于点，曲线在点处切线斜率为.(1)求的值及函数的极值；(2)当时，证明恒成立.【答案】(1)，极小值为，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出的值，再利用导数可求出函数的极值；（2）构造函数，，求导，再构造函数，利用导数得到的单调性，得到恒成立，从而可证不等式恒成立.【详解】(1)因函数（为常数）的图象与轴交于点，则，求导得，依题意，，则，即，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取极小值，无极大值.(2)设函数，，因此，令，，则，则当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，所以对，，所以，当时，，所以，函数在上单调递增，则有，即当时，不等式恒成立．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的极坐标方程为，直角坐标系中曲线N的参数方程为（为参数，）.(1)求曲线M的直角坐标方程；(2)设曲线M与直角坐标系xOy的x轴和y轴分别交于点A和点B（A、B都异于原点O），点C为曲线N上的动点.求面积的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用公式代入可得结果；（2）求出的坐标，，直线的方程，设，，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，并利用两角和的余弦公式求出最大值，可得面积的最大值.【详解】(1)曲线M的极坐标方程，即，把代入化简得，所以曲线M的直角坐标方程是：.(2)由（1）及已知，得，，，直线AB方程为：，即，依题意，设，，点C到直线AB的距离d，，而，因此，当时，即时，，所以面积的最大值是.23．已知函数.(1)求函数的最小值；(2)若正数m，n，p满足，判断是否存，使得，若存在，请给出一组m，n的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)6(2)不存在，理由见解析【分析】（1）分类讨论取绝对值，利用单调性求出最小值，即可得解；（2）由（1）问知，利用基本不等式并结合得到，从而可得，故不存在符合条件的.【详解】(1)因为，故在上为减函数，在为增函数，故，故.(2)由（1）问知，则，故，而，故.当且仅当时等号成立，故不存在m，，使得.