2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省南阳六校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据复数除法和复数乘方去化简即可解决.【详解】故选：A2．有一段演绎推理：所有的质数是奇数，是质数，所以是奇数.这段推理（       ）A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【答案】A【分析】由是质数，但不是奇数可知大前提错误.【详解】大前提为所有的质数是奇数，但是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.3．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（       ）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】分别求出在区间上的平均变化率和在时的瞬时变化率，利用相等求解即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于，在时的瞬时变化率为，所以，解得.故选：B4．若函数，则的值为（       ）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【分析】求函数得导数，将x=-2代入，即可求得答案。【详解】由函数得：，故，则，故选：B5．对任意正整数定义运算，其运算规则如下：①；②.则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据新定义运算法则归纳计算．【详解】由题意．故选：D．6．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】应用复数的除法求得，进而确定其共轭复数的点坐标，即可得答案.【详解】由题设，，故，所以对应点为在第四象限.故选：D7．函数在区间上（       ）A．有极大值和极小值 B．有极大值，无极小值C．有极小值，无极大值 D．没有极值【答案】C【分析】对函数求导后，令导数等于零，再由单调性判断即可【详解】由，得，令，得或（舍去），当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以是在上的极小值点，无极大值，故选：C8．已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求函数的导数，根据函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.【详解】，因为函数在区间上单调，所以或，当恒成立，即或，得或，因为，所以.故选：B9．下列推理正确的是（       ）A．如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖B．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是C．在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则D．如果，均为正实数，则【答案】C【分析】按照推理、命题的否定及基本不等式相关知识依次判断.【详解】即使买了体育彩票，也不一定能中大奖，所以A错误；因命题“，使得”为假命题，故其否定“，恒成立”为真命题，因为二次函数的图象开口向上，所以，所以，所以B错误；在等差数列中，若，公差，当时有，所以在等比数列中，若，公比，由于，所以应有，故正确；当，均为正实数时，，不一定为正数，所以不一定成立，所以D错误．故选: C.10．请阅读下列材料：若两个正实数，，满足，求证：．证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．根据上述证明方法，若个正实数，，，，满足，你能得到的结论是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设函数，由对一切实数，恒有，可得答案.【详解】设函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．故选：D11．“”是“，”的(       )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据，求出a的范围：令，利用导数求f(x)的最小值.【详解】若，，则，令，，令，，在单调递增，∵，，，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，，∵(]，∴“”是“，”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题关键是利用导数研究的单调性，求其最小值，利用充分条件和必要条件的概念即可解答.12．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数转化为用导数求函数的最小值．【详解】，不等式化为，令，则，令（），则，所以在上是增函数，所以，所以时，，递减，时，，递增，所以，所以．故选：A．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】，，，所以切线方程为，即．故答案为：．14．若复数在复平面内对应的点为，则______．【答案】2【分析】利用复数的乘、除运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】，由题意得，且，解得，，所以．故答案为：215．若正三角形的周长为，面积为，外接圆半径为，则有．类比此结论，设正四面体的表面积为，体积为，外接球半径为，则有______．【答案】【分析】利用类比推理以及空间几何体的结构特征即可求解.【详解】正三角形的内切圆和外接圆圆心重合，内切圆半径是外接圆半径的一半，所以有，即，正四面体的内切球与外接球的球心重合，内切球的半径是外接球半径的，于是，所以．故答案为：三、双空题16．设函数，①若，则的最小值为___________；②若无最小值，则实数的取值范围是___________.【答案】          【分析】①当时，分，，求出函数得单调区间，从而即可求出函数得最小值；②求导，根据无最小值，则或，解不等式组即可得出答案.【详解】解：①当时，则当时，，且单调递增；当时，，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为.综上可得，函数的最小值为.②，令，则，若无最小值，则或，解得：.故答案为：①；②.四、解答题17．已知函．（1）用导数法证明在上为减函数；（2）用反证法证明方程没有负数根．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先求函数的导数，并根据，以及，判断函数导数的正负，即可证明；（2）首先假设命题的否定，假设存在满足，则，利用等号两边函数的值域，推得矛盾.【详解】（1）由题可知．，，．在恒成立，即在上为减函数．（2）假设存在满足，则．由可得，即，这与假设矛盾，故方程没有负数根．【点睛】本题结合导数，考查反证法，本题第一问的关键是正确求得函数的导数，第二问的关键是假设命题的否定后，知道如何推得矛盾.18．已知复数，且是纯虚数．（1）求复数及；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）计算出，根据纯虚数概念和模长公式即可得解；（2）计算出，实部为正，虚部为负解不等式组.【详解】（1），由题意得，所以，．（2），对应的点在第四象限，所以解得，所以的取值范围是．19．已知函数，.(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据在定义域上单调递增，由对任意，成立求解；（2）求导，证明即可.【详解】(1)解：的定义域为，，∵在定义域上单调递增，∴对任意，成立，即对任意，成立，∴的取值范围是.(2)，∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值即最小值为，∴.20．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为棱上靠近点的四等分点.(1)求证：且平面﹔(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）正方体中平面可得，利用三角形相似可得，即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.【详解】(1)∵为的中点，为的中点，∴，在正方体中，平面，∴平面，∵平面，∴.由已知可得，，，，，∴，从而可得.又∵，∴平面.(2)以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，于是，，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的一个法向量，则，令，得.∵，∴二面角的大小为.21．已知数列的前项和，满足，且．（1）求、、；（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1），，；（2）猜想，，证明见解析．【分析】（1）分别令、、，可求得、、的值；（2）根据（1）猜想得出，，由可知当猜想成立，假设当时猜想成立，可得出，可得出当时，由整理得出，解出即可得出结论成立.【详解】（1）对任意的，，且．当时，，整理得，且，所以；当时，，整理得，且，所以；当时，，整理得，且，所以；（2）由（1）猜想，，下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立；②假设当时，成立．当时，，所以，且，所以，即当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．【点睛】思路点睛：“归纳——猜想——证明”的一般环节：（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.22．已知函数，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接求导后得到，直接写出切线即可；（2）直接求导确定单调性，端点作差确定最大值，得到不等式，结合单调性求解即可.【详解】(1)若，，，因为，，所以曲线在处的切线方程为.(2)由题意知，则，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.设，则当时，，所以当时，.则在上的最小值为，最大值为，所以，设，则当时，，单调递增，由，可得，即的取值范围是.