2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

这是一份2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题 Word版，共8页。试卷主要包含了下列导数计算正确的是，已知函数f，若数列{an}满足，下列不等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试（数学）一．单选题（共8小题，满分40分）1．1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a7＝12，a8＝9，则S12＝（　　）A．60 B．90 C．120 D．1802．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（　　）A．2 B．3 C．4 D．93．下列导数计算正确的是（　　）A． B． C．（lnx+ex）′＝x+ex D．（xcosx）´＝cosx﹣xsinx4．已知函数f（x）＝2ex﹣ax在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）5．若数列{an}满足：a1＝1，且an+1＝，则a7＝（　　）A．19 B．22 C．43 D．466．设a＝tan92°，b＝π2，c＝eπ，则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（　　）A．66 B．91 C．107 D．1208．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，那么下列结论中错误的是（　　） A．函数y＝f（x）的图象可以是中心对称图形B．∃x0∈R，使f（x0）＝0 C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0 二．多选题（共4小题，满分20分）9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9＝S10＜S11，则（　　）A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S910．下列不等式正确的是（　　）A．当x∈R时，ex≥x+1 B．当x＞0时，lnx≤x﹣1 C．当x∈R时，ex≥ex D．当x∈R时，x≥sinx11．已知数列{an}中的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有an+1≤Sn，则称{an}为“和谐数列”，下列结论正确的有（　　）A．常数数列为“和谐数列” B．为“和谐数列” C．{2n+1}为“和谐数列” D．若公差为d的等差数列{an}满足{an+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣212．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且（x+1）f′（x）﹣f（x）＜x2+2x对x∈（0，+∞）恒成立．下列结论正确的是（　　）A．2f（2）﹣3f（1）＞5 B．若f（1）＝2，x＞1，则 C．f（3）﹣2f（1）＜7 D．若f（1）＝2，0＜x＜1，则三．填空题（共4小题，满分20分）13．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}的第6项是 　   　．14．若数列{an}的通项公式为，则该数列中的最小项的值为　   　．15．已知a＞0，b＞0，直线y＝x+a与曲线y＝ex﹣b相切，则+的最小值是 　   　．16．设函数f（x）＝，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式，恒成立，则正数k的取值范围是　   　． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣11，a2＝﹣9，且Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值． 18．（12分）设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn．  19．（12分）已知函数f（x）＝﹣a（x﹣lnx）+a（a为实数）．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围． 20．（12分）在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．（1）证明：数列{an+n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．   21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A（0，﹣2）的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．   22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a﹣2x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2（x1＜x2），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：x1•x22＞．
2020级高二学年下学期期中（数学）考试(答案)1-8  BCDBC  BDC    9.BC  10.ABC  11.BD  12.CD13.9       14.  12﹣14    15.  9      16.k≥1．17.解：（1）由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；（2）由题知，则，由Tn＞0得，解得，所以n的最大值为5．18.解：（1）∵数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1．∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝3×[22n﹣3+22n﹣5+…+22﹣1]+2＝3×+2＝2×4n﹣1＝22n﹣1．（2）bn＝nan＝n×22n﹣1．∴数列{bn}的前n项和Sn＝2+2×23+3×25+…+n×22n﹣1，4Sn＝2×4+2×25+…+（n﹣1）22n﹣1+n•22n+1，∴﹣3Sn＝2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1＝﹣n•22n+1，可得Sn＝．       解：（1）函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），．当a＝﹣1时，ex﹣ax＝ex+x＞0，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，1）内单调递减，所以f（x）在（0，1）内不存在极值点；当a＞0时，要使函数f（x）在（0，1）内存在唯一极值点，则在（0，1）内存在唯一变号零点，即方程ex﹣ax＝0在（0，1）内存在唯一根，所以．设，则，所以g（x）在（0，1）内单调递减．又g（1）＝e，所以a＞e，即a的取值范围为（e，+∞）．20．【解答】解：（1）证明：因为＝， 数列 {an+n} 是首项为 a1+1＝2，公比为2的等比数列，那么，即 ．（2）由（1）知，＝＝．21．解：（1）设F（c，0），由条件知⇒c＝．又a2＝b2+c2，可得b2＝1，a2＝4，∴椭圆E的方程：．（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入椭圆E的方程：．得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即k2．，从而|PQ|＝|x1﹣x2|＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积s△OPQ＝|PQ|＝设＝t，则t＞0，∴．当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．22．【解答】解：对函数f（x）求导，得f′（x）＝+•﹣2＝．（I）当a＝﹣2时，f′（x）＝＝，因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），由f′（x）＞0，得0＜x＜，由f′（x）＜0，得x＞，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．（II）由f（x）＝0，得lnx+a﹣2x＝0，（i）函数f（x）有两个不同零点x1，x2（x1＜x2），等价于方程a＝2﹣有两个不同的实根．设t＝，即方程＝t﹣有两个不同的实根．设g（t）＝t﹣，g′（t）＝1﹣＝，再设u（t）＝t2+lnt﹣1，所以函数u（t）在（0，+∞）上单调递增，注意到u（1）＝0，所以当0＜t＜1时，u（t）＜0，当t＞1时，u（t）＞0．所以g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当t→0时，g（t）→+∞，当t→+∞时，g（t）→+∞，当t＝1时，g（t）＝1，只需＞1，即所求a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞）．（ii）注意到t1＝，t2＝，要证x1•x22＞，只需证t1•t22＞．由（i）知，0＜t1＜1＜t2，故有＝t2﹣，即t2＞．下面证明：t1•t2＞1．设h（t2）＝g（t2）﹣g（）＝（t2﹣）﹣（﹣）＝t2﹣﹣（t2+）lnt2，有h′（t2）＝1+﹣（1﹣）lnt2﹣（t2+）•＝﹣（1﹣）lnt2＜0，所以函数h（t2）在（1，+∞）上单调递减，所以h（t2）＜h（1）＝0，所以g（t2）﹣g（）＜0，故有g（）＞g（t2）＝g（t1）．又0＜＜1，0＜t1＜1，且g（t）在（0，1）上单调递减，所以＜t1，即得t1•t2＞1．因此t1•t22＞，结论得证．