2021-2022学年江苏省高邮市临泽中学高二下学期期中学情调研数学试题（Word版）

高邮市临泽中学2021-2022学年高二下学期期中学情调研测试数学试题          2022.04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，则（       ）

A． B． C． D．

2.函数的单调递增区间（       ）

A．        B．        C．       D．

3.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（       ）

     A．             B．

 C．             D．

4.已知随机变量X服从正态分布，且，则（       ）

A． B． C． D．

5.给出以下命题，其中正确的是（       ）

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面､的法向量分别为，，则

D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为

6.已知随机变量X的分布列为

设，则等于（       ）

A．         B．          C．         D．

7.如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止. 则下列说法正确的是（       ）

A．甲从到达处的方法有种

B．甲从必须经过到达处的方法有种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为

8.蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是109°28′，所有的锐角都是70°32′. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ）

A．        B．      C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（       ）

A．取出的白球个数X服从二项分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

C．取出个白球的概率为

D．若取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则总得分最大的概率为

10.关于的二项展开式中，下列说法正确的是（       ）

A．二项式系数和为                    B．各项系数和为

C．二项式系数最大的项为第项            D．的系数为

11.为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（       ）

A．不同的安排方法共有种

B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有种

C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有种

D．若该红十字会又计划为这三地捐赠16辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有种

12.如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面．点为半圆弧上 (不含，点)的一动点．下列说法正确的是（       ）

A．的数量积不恒为

B．三棱锥体积的最大值为

C．不存在点，使得

D．点到平面的距离取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.由数字，，，，可以组成_____个没有重复数字的五位奇数．

14.已知，若，则______.

15.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．

16.若，则的最小值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）有四名男生，三名女生排队照相.

(1)若七个人排成一排，且三名女生必须连排在一起，那么有多少种不同排法数？

(2)若七个人排成一排，且女生不能站在两端，那么有多少种不同排法数？

(3)若七个人排成两排，前排站女生，后排站男生。那么有多少种不同的排法数？

（上述排法数结果，用数字表达）

18.（12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，．

(1)求证：CE⊥PD；

(2)若PA＝，AB＝，AD＝，且，求平面ABP

与平面PCE所成锐二面角的大小．

19.（12分）在①采用无放回抽取；②采用有放回抽取. 两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：一个盒子中有个大小、质地相同，颜色不同的小球，其中个黑球，个白球．

若      ，从这个球中随机抽取个．求取出的个球中黑球的个数的分布列和期望.

20.（12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且当时，

有极值．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值．

21．（12分）加强核酸检测工作，既有利于巩固防控成果、维护群众健康，又有助于人员合理流动、推动全面复工复产复学，是“外防输入、内防反弹”的重要措施. 某地要求对重点人群实行“应检尽检”原则，该原则指的是根据疫情传播风险研判，对应该进行核酸检测的人员，要保证必须全部检测. 该地根据“应检尽检”原则，对某大型社区开展了每日核酸检测. 因工作需要，社区工作人员对该社区被进行核酸检测群众的年龄构成情况进行了解. 随机抽取了名群众，将他们的年龄分成段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这名群众中年龄大于岁的人数；

(2)①若从样本中年龄在岁以上的群众中任取名，赠送“红星”洗化店的洗化用品. 求这名群众至少有人年龄不低于岁的概率；

②该“红星”洗化店采用抽奖方式来提升购物人数，将某特定产品售价提高元，且允许购买此特定产品的群众抽奖次. 规定中奖次、次、次分别奖现金元、元、元. 设群众每次中奖的概率均为. 若要使抽奖方案对“红星”洗化店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位）

22.（12分）已知梯形和矩形. 在平面图形中，，. 现将矩形沿进行如图所示的翻折.

(1)当二面角的大小为时. 求的长；

(2)设是中点.

①当二面角的大小为时，若，且点在平面内，求实数的值；

②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值.

2021-2022学年高二下学期期中学情调研测试

              数学试题          2022.04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】BC

12.【答案】BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】0.81

16.【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】

(1) 由捆绑法知，视三名女生为一整体，后与四名男生共同排序. 得，；

(2)由特殊元素、特殊位置知，由男生站队伍两端，后剩余两名男生与三名女生共同排序. 得，；

(3)由乘法原理知，

答：（1）排法数为720种；（2）排法数为1440种；（3）排法数为144种.

18.【答案】(1)∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴．

∵，AD，平面PAD且，

∴BA⊥平面PAD．∵，∴CE⊥平面PAD．

又平面PAD，∴；

(2)∵，

又，，

∴，．

以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连结PE．

A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，0），P（0，0，1），C（2，1，0），

由题意知平面PAB的一个法向量为，

设平面PCE的法向量为，，，

由，，得，取，则．

设所求二面角为，，则．

所以.

19.【答案】若选①：由题意知：所有可能的取值为，

；；

；；

的分布列为：

期望为.

答：期望为

若选②由题意知：所有可能的取值为，且，

；；

；；

的分布列为：

期望.

答：期望为.

20.（12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．(1)求的解析式；(2)求在上的最大值和最小值．

【答案】(1)由题意可得，．

由解得  此时

由上表可知：在时，有极大值．所以．

(2)由（1）知，．令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为 10，最小值为．

21．【答案】(1) 由频率分布直方图年龄在岁以上的群众共有名；

(2) ①由频率分布直方图知，岁以上的群众共有名. 年龄不低于岁的群众有名，记事件为“这名群众至少有人年龄不低于岁的概率”，

则：（或）.

②设群众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：.

由题意得： ，   

，

故群众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：

由题意得， ，即.  由结果精确到个位，故取元

所以最高定价为元时，才能使得抽奖方案对商家有利.

答：（1）年龄大于岁的人数为人；（2）名群众至少有人年龄不低于岁的概率为；

（3）奖金最高可定为元.

22.【答案】∵ ∴ 即 且  ∴为二面角的平面角

（1）由题意得

∵

∴

∴

（2）①由题意得，

以为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系

D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），B（1，1，0），M，

设点，∴，

∵ ∴，即

∵点在平面内 ∴，其中

∴ 

另解：∵点在平面内 ∴，其中

∵，∴ 即

②设直线与平面所成角为，设点，则

当时，直线与平面所成角的正弦值为

当时，直线与平面所成角的正弦值为

当且时，

由题意得A（1，0，0），故 ∵C（0，2，0）∴

即，取直线的方向向量

设平面的法向量为，，，

由，，得，取，则．

则

令，则且

则，

当且仅当，即时，取等号

故

∵  ∴