2021-2022学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（       ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为种.故选：C2．直三棱柱中，若，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得，故选：A.3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为两个独立事件A和B，所以,结合,即可求出答案.【详解】由题设条件可得, , 又 ,解得. 所以 .故选：A.4．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：CA． B． C． D．【答案】A【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.故选：A6．椭圆的左、右焦点为、，P是椭圆上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，则则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：A.7．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，所以，，，设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，设直线与平面BDE所成角为，所以．故选：D.8．，则a，b，c的大小顺序为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上：.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.二、多选题9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.10．已知随机变量 满足.若,则下列结论正确的是(　　)A．B．C．D．【答案】AC【分析】由已知得，，由期望公式求出，再根据方差公式求出，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量满足，，∴，又， ，∴,又，，所以，所以．故选：AC.11．已知，则（       ）A． B．这7个数中只有3个有理数C． D．【答案】ACD【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为对于A，令，得，则，A正确．对于B，这7个数中，当为偶数时，对应为有理数，B错误．对于C，，C正确．对于D，对两边同时求导，得，令，得，D正确．故选：ACD12．如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（       ）A．若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值B．的面积是定值C．线段、长度的平方和是定值D．设，则【答案】ABD【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用弦长公式可判断C选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，则，，A对；对于B选项，设，则，联立可得，解得，不妨设点在第三象限，则，设点在第四象限，同理可得，点到直线的距离为，，所以，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题13．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则_________.X123P0.2a0.5 【答案】2.3【分析】先由概率总和为1求出参数，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，，可解得，故，故答案为：2.314．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.【答案】【分析】由已知可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.【详解】由已知可得，且，由空间向量数量积的定义可得，所以，，因此，.故答案为：.15．若的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.【答案】【分析】根据给定条件，求出幂指数n的值，再求出第r+1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因的展开式中各项的二项式系数之和为256，则，解得，的展开式中第r+1项的系数为，，而，则当r为奇数时，第r+1项的系数为负，当r为偶数时，第r+1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：，化简整理得：，解得，所以a的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．四、双空题16．已知函数，．当a=1时，函数在点P（1，）处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________．【答案】          【分析】求导，代入求出，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a的最大值.【详解】由题意当时，，，则，，所以函数在点处的切线方程为．因为，即，则，令，故，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，，当时，，故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是．故答案为：；.五、解答题17．（1）计算：；（2）若，求正整数.【答案】（1）1；（2）8.【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）；（2）∵，∴，又，化简得，解得.18．已知.求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分别令、可求得、的值，即可求得的值；（2）分别令、，将所得两式作差可求得的值；（3）分析可知当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求代数式的值.【详解】(1)解：令，则，令，则，①因此，.(2)解：令可得，②①②可得.(3)解：的展开式通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，.所以，.19．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与P，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为．(1)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【详解】(1)记“这四次投球中至少一次命中”为事件C，则“这四次投球均未命中”是事件C的对立事件，则 (2)依题意，，则记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，，，，则ξ的分布列为：ξ012P 20．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.【答案】(1)证明见解析；(2)点G为BD的中点时.【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点.【详解】(1)(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE， 因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.(2)在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,设BC=4，则，DF=FC=l，.以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则,设，则,，设平面AEG的法向量为,由，得，令，故，设平面ACD的法向量为，则,即，令，则,设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,则，当最大，此时锐二面角最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.21．已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，P为椭圆C上一点，，且，．(1)求椭圆C的方程．(2)若直线与椭圆C相切，过A作l的垂线，垂足为Q，试问是否为定值？若是定值，求的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）设出点P的坐标，进而根据求出它的坐标代入椭圆方程，再根据，结合斜率公式求得答案；（2）联立并化简，根据判别式为0得到k,m的关系，再联立求出点Q的坐标，进而求出答案.【详解】(1)设，易知，因为，所以，所以，．因为P在椭圆C上，所以，所以．因为，所以，所以．因为，所以，，故椭圆C的方程为．(2)联立方程组，得，则，得．当时，直线l的方程为，．当时，直线AQ的方程为，联立方程组，得Q的坐标为，所以．因为，所以，所以，故为定值，且．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.22．设函数，其中且，e是自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，即可得到，再求出函数的导函数，即可求出，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证，令、，，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【详解】(1)解：当时，所以，又，所以，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即(2)解：函数的定义域为，当时，，令，，所以，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时， ，令，，所以，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时， ，因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，所以.