2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题一、单选题1．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（       ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得，，，因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.2．安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（       ）种.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】用列举法写出所有安排方法．【详解】由题意三名义工按甲乙丙顺序的安排方法为：，，共三种．故选：C．3．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由第项与第项的二项式系数相等可求得，由此可得展开式通项公式，令即可知展开式的系数为无理数，由此可得结论.【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；展开式的通项公式为：；则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项.故选：B.4．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由已知得此人通过的科目数，根据二项分布的方差公式建立方程可求得，再运用二项分布的期望公式计算可得答案.【详解】解：因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，所以此人通过的科目数，又此人通过的科目数的方差是，所以，解得（舍去），所以，故选：C.5．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C6．现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位，每位志愿者只能参与一个岗位的工作，且每个岗位至少有一名志愿者参与，则参与防控的情况共有（       ）种.A．24 B．36 C．48 D．50【答案】B【分析】把4名志愿者按112分三组，然后安排到三个即可得．【详解】由题意有一个岗位是两个人，方法数为．故选：B．7．已知随机变量，若函数为偶函数，则（       ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】根据偶函数和正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，因此，故选：B8．以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点P到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案.【详解】解：由已知得，所以是和折成120°的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因为，其中，所以点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点P到平面ABC的距离为h，因为，，所以平面BDC，所以AD是点A到平面BDC的距离，所以，又中，，所以，所以，则，所以，解得，所以的最小值为，故选：C.二、多选题9．对且，下列等式一定恒成立的是（       ）.A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据组合数、排列数的定义判断．【详解】，A正确；，B正确；，C正确；，，D错．故选：ABC．10．能被7整除，则整数的值可以是（       ）A．4 B．6 C．11 D．13【答案】BD【分析】先将化为，再利用二项式定理解决整除问题.【详解】因为，且能被7整除，所以是7的倍数，经验证和符合题意.故选：BD.11．下列命题中，正确的命题是（       ）.A．已知随机变量服从二项分布，若，，则B．将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍C．设随机变量服从正态分布，若，则D．若随机变量服从二项分布，则变量的标准差为【答案】ACD【分析】由二项分布的期望公式和方差公式判定选项A正确，利用判定选项B错误，利用正态曲线的对称性判定选项C正确，利用二项分布的方差公式和标准差公式判定选项D正确.【详解】对于A：由题意，得，解得，即选项A正确；对于B：由，得：将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为4倍，即选项B错误；对于C：由题意，得，，，由正态曲线的对称性，得，即选项C正确；对于D：由题意，得，其标准差为，即选项D正确.故选：ACD.12．如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）A．B．的最小值为C．异面直线与的距离是定值D．【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，，所以，，设，则，因为，故，故A正确；，，当时，取得最小值为，故B正确；因为，平面，平面，则平面，所以点到平面的距离为异面直线与的距离，设平面 的一个法向量为，则，即，取，所以，故C错误；因为，，所以，，则，因为，则，故D正确；故选：ABD三、填空题13．的展开式中，常数项为___________.【答案】16【分析】结合二项式展开式的通项公式求得常数项，【详解】的展开式中，常数项为.故答案为：14．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是____________（用数字作答）.【答案】36【分析】作出图形，先找出一个表面“平行线面组”的个数，进而可求得“平行线面组”的个数.【详解】如下图所示：若平面为长方体的表面上的某一个面，如底面，则与底面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有：、、、、、，共条；长方体有6个面，每个面都有6条直线组成“平行线面组”，所以有个故答案为：.15．已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.【答案】【分析】由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.16．甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是____________.【答案】【分析】设从甲袋取出红球为事件A，再从乙袋取出红球为事件B，求解，再计算，从而得.【详解】设从甲袋取出红球为事件A，再从乙袋取出红球为事件B，则，.，，所以.故答案为：四、解答题17．某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布，参考数据：，，.(1)求；(2)请判断学生总分落在区间的人数.【答案】(1)0.8185(2)471【分析】（1）利用正态曲线的对称性和原则进行求解；（2）先利用正态曲线的对称性和原则求出落在该区间上的概率，再求人数即可.【详解】(1)解：因为考生成绩，所以，，所以；(2)解：因为，所以考生总分落在区间的人数为.18．若.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）通过赋值，令和，代入分别求系数，即可求解；（2）令和，求系数的和，再结合平方差公式，即可求解.【详解】解：（1）∵，令，可得，令，可得，∴.（2）∵，令，可得①，令，可得②，结合①②可得，.19．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：平面；(2)试在线段上确定一点，使与所成角是60°.【答案】(1)证明见解析(2)点应在线段的中点处【分析】（1）设，连接，通过证明即可得出；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出.【详解】(1)设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以,,所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面；(2)如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意设，则，，因为，，，与所成角是，所以，即，化简得，解得或（不合题意舍去），从而，因此点应在线段的中点处．20．设甲、乙两人上班，每天之前到班的概率均为，假定甲、乙两人到班的情况互不影响，且任意一人每天到班的情况相互独立.(1)用表示乙四天中之前到班的天数，求随机变量的分布列和数学期望；(2)记事件为“到班的四天中，甲在之前到班的天数比乙在之前到班的天数恰好多天”，求事件发生的概率.【答案】(1)分布列见解析，数学期望(2)【分析】（1）易知，由此可计算出所有可能的取值对应的概率，由此可得分布列；由二项分布期望公式可求得数学期望；（2）由题意知，由独立事件概率公式可知所求概率为，由此计算可得所求概率.【详解】(1)乙四天中到班的情况相互独立，且每天之前到班的概率为，，由题意知：所有可能的取值为，；；；；；的分布列为： 数学期望.(2)设甲四天中之前到班的天数为，则，，且.由题意知：事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，由（1）知：事件发生的概率为.21．在一次抛硬币游戏中，甲乙两人依次抛掷，每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是.甲先抛，若抛掷正面向上记1分，抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列，乙抛掷的得分记为数列，数列，的前项和分别为和.(1)求满足“”的事件的概率.(2)求满足“，且”的事件的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出和的所有取值，进而分别求出事件概率；（2）根据题意得或-2，进而求出概率.【详解】(1)的可能取值为2，0，-2，同理的可能取值也为2，0，-2，成立时仅有，或者，两种情况．故答：满足“”的事件的概率为(2)，即前两次是正正或反反，所以或-2，①当，，即后六次中三次正面和三次反面，此时概率，②当，，即后六次中五次正面和一次反面，此时概率，由①②可知，所求概率为，所以满足“，且”的事件的概率为.22．如图，四边形是梯形，，，，点是平面外一点，，直线与平面所成角的大小为45°，且平面平面.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）取的中点，连接，得四边形是矩形，得△是等边三角形，取的中点，连接，，可证平面，得证；（2）证明平面，就是直线与平面所成的角，从而可得，由余弦定理求得．以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法计算点面距；（3）在（2）基础上，由空间向量法求二面角．【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，因为，，与平行且相等，是平行四边形，，所以四边形是矩形，所以.连接，所以，则△是等边三角形.取的中点，连接，则.连接，因为，所以，因为，平面，所以平面，所以.(2)解：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面.连接，则就是直线与平面所成的角，所以，所以.在中，，，所以，所以.如图，以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.由，可得.所以.因为平面的一个法向量为，，故点到平面的距离；(3)设平面的一个法向量为，由，得.可取，，则.因为平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.