2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为，则它的斜率（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角和斜率之间关系求解即可.【详解】由倾斜角和斜率之间的关系得，直线的斜率.故选：C.2．己知空间向量，且，则实数（       ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】由，得到，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，空间向量，因为，可得，即，可得 ，解得.故选：A.3．若直线x+y﹣2＝0和直线mx+2y+9＝0平行，则m的值为（　　）A．2 B．﹣2 C．1 D．【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】解：因为直线x+y﹣2＝0和直线mx+2y+9＝0平行，所以，所以.故选：A4．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（       ）A． B．  C．，2， D．【答案】C【分析】利用向量垂直的坐标表示判断出正确选项.【详解】A，，错误.B，，错误.C，，正确.D，，错误.故选：C5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】将直线化为，根据两平行线之间的距离公式求解即可.【详解】将直线化为，因为直线与直线平行，设两条平行线间的距离为，所以根据两平行线之间的距离公式：.故选：B.6．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.7．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（       ）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】B【解析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长.【详解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0，所以，，所以.故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单.8．已知点和圆，过作的切线有两条，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】将圆的方程化为标准方程，可得，再由题意可知点在圆外，即，解不等式即可求解.【详解】由，得，则，解得，要使过作的切线有两条，则点在圆外，从而，即， 解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了点与圆的位置关系求参数的取值范围、圆的标准方程，属于基础题.二、多选题9．在下列四个命题中，错误的有（　　）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【答案】ABD【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在所以A错误对于B直线的倾斜角的取值范围为所以B错误对于C因为且，所以所以C正确对于D倾斜角为的直线斜率不存在所以D错误故选：ABD10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.11．圆（       ）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】ABC【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程求出圆心坐标，可判断选项A的正误；将圆心坐标分别代入到B、C、D中，可判断其他选项的正误.【详解】将圆的一般方程化为圆的标准方程，可得，所以圆心的坐标为， 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心坐标，所以A选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以B选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C选项正确；圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D选项不正确.故选：ABC.12．给出下列命题，其中正确命题有（       ）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.三、填空题13．已知空间向量，，若，则实数x的值为______________.【答案】1【分析】根据向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，，因为，即，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．已知向量，则_____【答案】【分析】根据向量的模的坐标运算运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得.故答案为：.15．无论为何值，直线必过定点坐标为__【答案】【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.【详解】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.16．在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆外的一个动点，直线分别切圆于两点．若直线过定点（1，1），则线段长的最小值为____________．【答案】【解析】根据圆，设，分别求得过A点和B点的圆C的切线方程，再根据点P在过A、B的圆C的切线上，得到直线AB的方程，由直线过定点（1，1），得到的关系，然后由，利用二次函数求解.【详解】由圆，得，设，当时，则过A点的圆C的切线方程为：，整理得：，①若，则或，，切线方程为，满足①方程，，切线方程为，满足①方程，过A点的圆C的切线方程为，同理过B点的圆C的切线方程为，又点P在过A、B的圆C的切线上，所以，，所以直线AB的方程为：，又直线过定点（1，1），所以，即，所以，当时，线段的长取得最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及两点间的距离的最值，属于较难题．四、解答题17．求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为；(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.【答案】(1)；(2)；(3)或.【分析】(1)根据直线点斜式方程即可求解；(2)根据直线两点式或点斜式方程即可求解；(3)分类讨论直线过原点与不过原点，根据点斜式或截距式方程即可计算﹒【详解】(1)所求直线过点，且斜率为，，即.(2)所求直线过，，，即.(3)当直线过原点时，设直线方程为，直线过点，，直线方程为，即2x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为，将点代入上式得，，解得，故直线的方程为，综上，直线方程为或.18．已知，，，．(1)求实数x的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）向量坐标化，根据向量平行的坐标表示得到，列式得结果即可；（2）向量坐标化，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.【详解】(1)，， 列式得到(2)若， 由向量垂直的坐标表示得到：解得.19．已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．【分析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，则有，解可得b＝2；则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．20．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，点D是AB的中点.求证：(1)(2)平面.(3)若，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据给定条件，证明平面，结合线面垂直的性质推理作答.（2）证明，再利用线面平行的判断推理作答.（3）根据给定条件，确定直线与平面所成的角，再借助三角形计算作答.【详解】(1)在直三棱柱中，平面，平面，则，而AC⊥BC，，平面，则有平面，又平面，所以.(2)令，连OD，如图，矩形中，O是中点，而点D是AB的中点， 则，又平面，平面，所以平面.(3)在直三棱柱中，平面，平面，则，因，点D是AB的中点，则，连，又，平面，于是得平面，而平面，因此，平面平面，则是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，而，因此，，所以直线与平面所成角的正切值是.21．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，，易知平面的一个法向量为，，则，平面，故平面；（2）设平面的法向量为，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.22．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.(1)求圆C的标准方程；(2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)证明见解析，.【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.（2）在直线n的斜率存在时，设其方程，再与圆C的方程联立，借助韦达定理及已知探求k，t的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.（3）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.【详解】(1)依题意，圆C的半径，所以圆C的标准方程是：.(2)当直线n的斜率不存在时，设，由直线AM，AN的斜率之积为2，得，即，又由点M，N在圆C上得，消去b得：，而，则，此时，因此，无解，当直线n的斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：，设，则，，直线斜率，直线斜率，则，整理得，此时直线n：过定点，所以直线n过一个定点，该定点坐标是.(3)设直线方程为：，由消去y并整理得：，则有点，而直线：，同理，于是得直线的斜率，所以直线m的斜率是定值，该定值为.【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.