2021-2022学年山东师范大学附属中学高二下学期期中学业水平测试数学试题（Word版）

山东师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中学业水平测试数 学 学 科 试 题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分为150分,考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等修改.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.在的二项展开式中，的系数是（　　）

A． B． C． D．

2.函数，其导函数为，则＝（　　）

A． B． C． D．

3.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

若线性相关，经验回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（   ）

A.7.2万盒  B.7.6万盒 C.7.8万盒  D. 8.6万盒

4.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（     ）

A. 252种  B. 112种    C. 70种    D. 56种

5.某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则＝（　　）

A.  B.  C.  D.

6.设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的光片是次品的概率为（　　）

A．   B． C．   D．

7.若某随机事件的概率分布列满足()，则=（　　）

A．3 B．10 C．9 D．1

8.已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（　　）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,错选不得分，少选得2分.

9.在的展开式中，下列说法正确的有（　　）

A．所有项的二项式系数和为128 

B．所有项的系数和为1 

C．二项式系数最大的项为第4项 

D．有理项共3项

10.对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据，则下列结论正确的是（　　）

A.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B.若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心

C.若以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的估计值分别是3和6.

D.用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则的值为1.

11.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A. 若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D. 白玫瑰日销售量范围在的概率约为

12.已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（　　）

A．

B．在上单调递增 

C． 

D．若，则

第Ⅱ卷

三．填空题：本题共4小题,每小题5分.

13.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有______种.

14.已知X的分布列为

设，则E(Y)的值为________．

15.某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如表所示：（残差＝观测值﹣预测值）

根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：=0.7x+a．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为　　．

16.不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为　　．

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数在处取得极值，其中．

(1)求的值；

(2)当时，求的最大值．

18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如表格：

（1）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入下列联表：

（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？

（3）若从完成生产任务所需的工作时间在（60，70]的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：．

19.教育部决定自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率分别为，， ，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为．

（1）设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”，求事件A发生的概率；

（2）设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X的分布列和数学期望．

20.已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，讨论函数的单调性．

21.2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构。某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：

方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；

方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；

制造商为制定t的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表

以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？

22.已知函数.

（1）若在有两个零点，求实数的取值范围；

（2）设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.

2020级5月测试题答案

1.A  2.A  3.C  4.B  5.B  6.A  7.D  8.A

9.AB  10.BCD  11..ABD  12.ABD

13.10   14.   15.4.5    16.（0，e]

17.解：(I)，且函数在处有极值O，

即……3分

解得    ……5分

又当，时，

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增．

故在处取得极大值．综上，，    ……6分

(Ⅱ)当，时，．则

当变化时，与的变化情况如下表：

当时，取得最大值4．……12分

18.：解：（1）由题意可得，列联表如下：

（2）假设H0：甲，乙两种生产方式的效率无差异，

根据（1）中列联表中的数据，经计算得到

依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01．

（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，

，，，

故X的分布列为：

∴．

19.解：（I）事件A可分为考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目，或者考生报考乙大学在笔试环节通过三门科目，

∴．

（II）由题意可得，X的值可能为0，1，2，3，

P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，

即X的分布列为

∴＝．

20.【详解】（1）当时，，，又，，

所以曲线在处的切线方程为．

（2）（），

①当时，在上单调递减，在上单调递增；

②当时，在和上单调递减，在上单调递增；

③当时，在上单调递减；

④当时，在和上单调递减，在上单调递增．

21.解：（1）由题意得，

，，

，，

，

，

所以X的分布列为

（2）选择方案一所需费用为元，则时，，时，；时，；时，，时，，

则的分布列为

，

选择方案二所需费用为元，则时，；时，；时，，则的分布列为

，

因为，所以，解得，

所以的取值范围为.

22.

证明：（Ⅰ）设函数．

在有两个零点当且仅当在有两个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

当时，易证 ，所以．

故在也有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在有两个零点时，．

注：采用分离参数进行求解也可以

（Ⅱ）证明：，

故，令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，，，

由零点存在性定理及的单调性知，

方程在有唯一根，

设为且，从而有两个零点和，

所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，

从而存在唯一的极大值点即证，

由得，，

取等不成立，所以得证，

又，在单调递增，

所以得证.

从而.