2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程存在有理数根，那么中至少有一个是偶数”时，要做的假设是

A．至多有两个偶数 B．都是偶数

C．至多有一个偶数 D．都不是偶数

【答案】D

【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是都不是偶数，故选D．

2．设是复数，若(是虚数单位)，则下列说法正确的是（       ）

A．的虚部为 B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得，由此判断出正确选项.

【详解】依题意，

，B错，

所以的虚部为，A错，

，C错，

，D正确.

故选：D

3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由古典概型的概率计算公式可得.

【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，共有个基本事件；而使不等式a－2b＋4<0成立的事件包含：，，，共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率．

故选：C．

4．若，则事件与的关系是

A．互斥不对立 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．以上答案都不对

【答案】D

【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，

但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，

所以事件A与B的关系是不确定的．

【解析】互斥事件与对立事件

5．已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则（       ）

A．在处取得极小值

B．在处取得极大值

C．是上的增函数

D．是上的减函数，上的增函数

【答案】C

【分析】由导函数图象可知在上恒成立,即在上单调递增,即可判断选项.

【详解】由图可得,在上恒成立,即在上单调递增,故C正确、D错误；

所以没有极值,故A、B错误；

故选:C

【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.

6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程求得．类比递推=（       ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】可设，得出，注意到，解出即可．

【详解】根据题意，设，于是得出，其中，

对等式两边平方，得，即，解得（舍）或，

故选：C．

7．设曲线在点处的切线与直线平行，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，然后可得答案

【详解】由可得，所以当时，

因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，

故选：C

8．是等腰直角三角形，在斜边AB上任取一点，则的概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，先求出点的可能位置的长度，然后可得答案.

【详解】设，则，

在斜边AB上任取一点，满足的点的可能位置的长度为1，

所以概率为，

故选：A

9．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（       ）

A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1

【答案】A

【分析】先对函数求导，由函数在区间上为减函数，可得导数小于零的范围为，可求得a的取值范围.

【详解】由函数，求导可得，

因为函数在区间上为减函数，

所以在区间上，

因为在区间小于零，且，

所以只需即可，

故选：A.

10．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为函数，所以．

令f′（x）=0得x=0或x=3，当 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m-．

不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m≥

【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值

11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.

【详解】总共有种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为和，

所以概率为

故选：A

12．设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数导函数在区间内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.

【详解】由，

因为函数f(x)＝ln x＋在内有极值，

所以在内有解，

即在内有解，

，

设，

当时，单调递减，所以，

要想方程在时有解，只需，

故选：A

二、填空题

13．若复数满足(为虚数单位)，则___________.

【答案】

【分析】直接进行复数除法.

【详解】解：因为，

所以.

故答案为：.

14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________

【答案】

【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】根据题意可知，在这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为，

故答案为：

15．已知函数，则的值为____________

【答案】

【分析】求导后代入可得，由导数定义可知所求式子为，由此可得结果.

【详解】，，

.

故答案为：.

16．定义在R上的函数．

①在上是减函数，在上是增函数．

②在上存在极小值．

③的图象在处的切线与直线垂直．

④设，若存在，使，则．

以上对函数的描述中正确的选项是：___________

【答案】①④

【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可.

【详解】由.

①：当时，，所以此时函数单调递减，

当时，，所以以时函数单调递增，因此本结论正确；

②：，因为函数在上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；

③：，直线的斜率为，因为，所以的图象在处的切线与直线不垂直，因此本选项结论不正确；

④：，存在，使，转化为存在，使成立，由，

设，，所以，

当时，单调递增，当，单调递减，

所以当时，函数有最大值，因为，

所以，要想存在，使成立，

只需，因此本结论正确，

故答案为：①④

三、解答题

17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．

(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率．

(2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率；

（2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.

【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A事件.

基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有种.

而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”.

∴；

(2)记至少抽到一个“墩”为事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为，

则.

18．若直线L与曲线和都相切，则求L的方程．

【答案】

【分析】设切点，再利用导数的几何意义可求得曲线的切线方程，再由切线与圆相切可得，从而可求出，进而可求出切线方程

【详解】设切点，即，.

∴，则切线方程：，

即.

由，得.          

解得，∵，∴.       

故L的方程为：，

即.

19．是虚数单位，已知数列{}，若，求该数列{}的前项的和．

【答案】

【分析】利用错位相减法求和即可.

【详解】由     ....①

则   ....②          

由①-②得     

即.

20．已知函数，．

(1)若时，求函数的单调区间．

(2)若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)函数的单调减区间为，单调增区间为；

(2).

【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得；

（2）利用参变分离法，求函数的最值即得.

【详解】(1)当时，.

则由，得，

，得

 ∴在上单调递减，在上单调递增，

即函数的单调减区间为，单调增区间为；

(2)∵在上恒成立.

①当时，恒成立.

②当时，，则由得在上恒成立.

令，则由，

得，得

即在上单调递减，在上单调递增.

∴.

∴.

21．观察：下面三个式子的结构规律

①

②

③

你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

【答案】，证明见解析

【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.

【详解】猜想：；

证明如下：

.

22．设函数，函数的图象与x轴的交点也在函数的图象上，且在此点处与有公切线.

(Ⅰ) 求、b的值；

(Ⅱ) 设，试比较与的大小.

【答案】（I）; (II)当时，；当时，；当时，.

【分析】（I）函数的图象与x轴的交点也在函数的图象上，且在此点处与有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设，令，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较与的大小即可.

【详解】（I）函数的图象与x轴的交点也在函数的图象上，

且在此点处与有公切线

，

∴由题意可得：

（Ⅱ）由（I）可知，令，

是上的减函数，而，

∴当时，，有；

当时，，有；

当时，，有.

【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.