2021-2022学年上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知空间两条直线两个平面，给出下面四个命题：①，；②，，；③，；④，，．其中正确的序号是（       ）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】逐项判断后可得正确选项.【详解】对于①，两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条也垂直此平面，故①正确；对于②，与不一定平行，也可能异面，故②错误；对于③，，或，故③错；对于④，，，又，故④正确．故选：A．【点睛】本题考查空间中与线、面位置关系有关的命题的真假，注意动态考虑给定的线、面位置关系，从而找到使命题不成立的反例，本题属于中档题.2．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（　　）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【答案】D【详解】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.3．函数的定义域为，解析式.则下列结论中正确的是（       ）A．函数既有最小值也有最大值 B．函数有最小值但没有最大值C．函数恰有一个极小值点 D．函数恰有两个极大值点【答案】A【分析】先对函数 进行求导，令导函数等于0找到有可能的极值点，然后根据导数的正负判断原函数的单调性进而确定函数的极值【详解】 ， ；令 ，则 或 ； 当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数单调递增；当 时，，此时函数 单调递减；当 时，，此时函数单调递增， 在 时取得极小值，在 时取得极大值，故C，D错误； ； ， ； 函数 既有最小值也有最大值；故答案为：A4．己知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义，给出下列结论：①；②对任意事件A，；③如果，那么；④.其中，正确结论的个数是（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.【详解】∵任意恒成立，任意恒不成立，∴，故①正确；对任意事件A，，∴，∴成立，故②正确；如果，当时，，此时或.若，则,，，成立；时，，，，成立；当时，，，∴，那么成立，∴③正确；当时，,此时,, 成立；当时，,此时, 成立，故④正确.综上，正确的结论有4个，故选：D二、填空题5．已知集合，则集合中整数的个数为______个.【答案】3【分析】分别求解对应不等式，化简集合、 ，根据交集的定义写出，即可得到答案．【详解】，，则，其中的整数有-1，0，1共3个，故答案为：36．设向量，则在方向上的数量投影为_________.【答案】2【分析】根据平面向量投影的定义计算即可【详解】向量， 所以 在 方向上的数量投影为 ;故答案为：27．某校有学生1200人，其中高三学生400人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取一个120人的样本，则样本中高三学生的人数为__________.【答案】40【分析】根据分层抽样的抽样比相等即可求解.【详解】某校有学生1200人，从该校学生中抽取一个120人的样本，抽样比为，所以样本中高三学生的人数为人，故答案为：40.8．抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程的解的概率为_______.【答案】【分析】利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.【详解】得到数字组成有序数对,其中，，列举可得对应共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a是方程的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为.故答案为：9．已知圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为_____.【答案】【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论.【详解】如图所示：设圆锥的底面半径为，在中，，该圆锥的侧面积，圆锥的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，解题的关键就是结合轴截面计算出圆锥的底面半径，考查计算能力，属于中等题.10．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为___________.【答案】【分析】化为直角坐标方程，判断为圆，化成标准形式，得到圆的半径，进而求得面积.【详解】，，，，表示半径为5的圆，面积为,故答案为：11．抛物线上一点M到焦点的距离为1，抛物线在点M处的切线的斜率为________.【答案】或或【分析】利用抛物线的定义求得的纵坐标，进而得到横坐标，然后利用导数求得切线斜率.【详解】设,抛物线的焦点，准线,到焦点的距离等于到准线的距离，所以，∴,∵∴,∴抛物线在点M处的切线的斜率,故答案为：12．已知无穷数列满足，且，则________.【答案】4【分析】由已知求得数列的首项，判定为等比数列，利用等比数列的前项和求得，取极限即得.【详解】∵，，，∴数列是首项为2，公比为的等比数列，所以，故答案为：413．在参数方程（t为参数，）所表示的曲线上任取一点，则的最小值为________.【答案】2【分析】直接将参数方程代入中，从而求出最小值.【详解】由题可得∵∴故答案为：2.14．若函数有且只有一个零点，那么实数_________.【答案】2【分析】该函数关于直线对称，又有唯一零点，所以即得答案.【详解】 即函数关于对称又因为函数有唯一零点，故 即在上单调递增，，结合对称性可得，，故答案为：215．虚数z满足，若存在正整数a、b、c使得a、b互质，且，那么________.【答案】18【分析】先利用三角形式表示的各个值，得到虚部各种不同情况的值，由题意对于部分情况进行排除，得到或，然后由和二倍角、三倍角公式得，进而求得，的值，结合题意进行选择取舍和比较得到的值，进而得解.【详解】∵，∴，∴，由题意，=0时， ，=3，4时，不合题意，∴或，∴或，由和二倍角、三倍角公式得， 因cos18°≠0，故 ， 化为， ∵， ∴.已知正整数a、b、c使得a、b互质， .当时，由于，符合题意；当时，，，不合题意；∴，∴，故答案为：18【点睛】根据题意对各种不同的情况作出取舍，并注意由，利用倍角公式求，才可以求得，.16．已知是数列的一个递推公式，其中且，若，则满足条件的实数的所有可能值的和为________.【答案】【分析】推导出数列是以为首项，以为公比的等比数列，由已知数列的前项在集合中，列举出数列前四项所有可能的情况，进而可求得结果.【详解】当时，，且且，若，则，则，则，不合乎题意.所以，，则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，故，因为，所以，，所以，数列的前项只可能是：①、、、；②、、、；③、、、；④、、、；⑤、、、；⑥、、、.因此，的所有可能值的和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用等比数列中项求参数，解题的关键在于推导出数列为等比数列，结合题意列举出数列前四项所有可能的情况，进而得解.三、解答题17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据正四棱锥的结构特征可知平面且，由线面垂直性质知；根据线面垂直的判定定理得到平面，进而由线面垂直性质证得结论；（2）利用三角形中位线性质可知，则可知所求角为；利用线面垂直性质可知，根据勾股定理求得，进而得到所求余弦值.【详解】（1）连接，交于点，连接四棱锥为正四棱锥       平面又平面       四边形为正方形       平面，       平面又平面       （2）连接分别为中点       直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即由（1）知：平面又平面       ，       即直线与直线所成角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、异面直线所成角的求解问题；证明线线垂直的关键是能够证得线面垂直，进而利用线面垂直的性质得到结论.18．已知函数（）．（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用三角恒等变换可化简为，再利用正弦函数的性质可求在区间上的最大值.（2）在中，由且可求得，，再利用正弦定理即可求得的值．【详解】.（1）由于，因此，所以当即时，取得最大值，最大值为.（2）由已知是的内角，，且，即.因为，故，，解得，，所以，得．【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．在三角形中，边长的比值即为边所对的角的正弦值之比.19．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；最大值（万元）．【详解】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．20．如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.【答案】（1）（2）在双曲线的右支上不存在点，满足，详见解析（3）【分析】(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,,的渐近线方程为,由对称性可知:,根据点到直线的距离公式,即可求得答案;(2) 直线的斜率为时,的方程为,设右支上的点的坐标为,则,由,得,结合已知,即可求得答案;(3) 设:,联立与的方程,得,根据韦达定理,结合已知,即可求得答案.【详解】(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,的渐近线方程为,由对称性可知：,即, 到的距离.（2）当直线的斜率为时,的方程为,故,又 ,故,设右支上的点的坐标为,则,由,得,即:由消去得,由根与系数的关系知,此方程无正根 在双曲线的右支上不存在点,满足.（3）设,,则,由点在曲线上,故①设:.联立与的方程,得,由于与交于不同两点, ,,从而①即为,解得.即直线的方程为.【点睛】本题的解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.21．若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.(1)判断函数与是否相切；(2)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；(3)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；(4)设（3）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.【答案】(1)相切，理由见解析(2)证明见解析(3)(4)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，即可得解；（2）利用两曲线在处有公切线可得出等式组，求出的表达式，然后由得，求出方程的三个解，即可得出结论；（3）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，利用已知条件可得出关于、的方程组，通过换元法以及构造新函数可求得、的值；（4）设函数，其中且，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】(1)解：对于函数，求导得，则，且，所以，曲线在处的切线方程为，因此，函数与相切.(2)解：反比例函数与二次函数在处有相同的切线，对函数求导得，对函数求导得，所以，可得，因为，则，代入可得，所以，，此时令得，它的一个解为，所以，方程可化为，解得，，所以，方程的三个解为，，即函数与函数的两个公共点分别为、.(3)解：设指数函数与对数函数在处有相同的切线，对函数求导得，对函数求导得，由题意可得，令，方程组等价于，因此即，而，所以，即，得，所以，①，则，②将①②代入得，化简得，所以，，因为，则函数为严格减函数，则，故，即，构造函数，其中，则且不恒为零，所以，函数在上为减函数，且，故方程的唯一解为，因此，，.(4)证明：设函数，其中且，求导得，令，则，令可得，由可得，由可得，所以，函数在上为减函数，在上为增函数，所以，.因为，则，因为，所以，函数在内有一个零点，在内取，则，令，其中，则，因为，则，则，所以，，所以，在上单调递增，且，所以，，所以，函数在内也存在一个零点，所以，函数在内共有两个零点，不妨设为、，且，当或时，；当时，，所以，函数有一个极大值和一个极小值，下面证明，，设函数与直线的交点为，所以，为函数的一个零点，所以，，则，所以，所以，也为函数的一个零点，所以，，，当时，函数为减函数，则函数也为减函数，且，因为，所以，，所以，，所以，，且，所以，，，因为且，所以，函数在内有一个零点，也是上的唯一零点，同理，且，所以，函数在内有一个零点，也是内的唯一零点，综上所述，当时，函数共有三个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.