2021-2022学年上海市金山区高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市金山区高二下学期期中数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市金山区高二下学期期中数学试题一、单选题1．双曲线的虚半轴长是（       ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】由双曲线方程求出的值可得结果【详解】解：由题意得，所以，所以双曲线的虚半轴长为3故选：A2．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（       ）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】B【解析】先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．【详解】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.故选:B．3．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆可化为，由题意可得圆心，半径是1，又因为是圆的切线且，可得，从而得出P点的轨迹方程．【详解】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．4．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设内层椭圆方程为，由题可知外层椭圆可设成 ，再根据直线与椭圆的位置关系可求出，即可利用求出离心率．【详解】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成 ，设切线A C的方程为, 与联立得：，由, 则, 同理可得,, 则,因此．故选：D.二、填空题5．经过、两点的直线斜率为______.【答案】【分析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.6．过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是_____.【答案】【分析】先求出两直线的交点坐标，再求这点到圆心的距离就是半径，从而可求出圆的标准方程【详解】由，得，所以直线 与直线 的交点为，所以圆的半径为，所以所求圆的标准方程为，故答案为：7．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________【答案】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由可得，所以圆心为，由可得，所以直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的斜率为，所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.8．求直线与直线的夹角为________.【答案】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．9．若直线与互相垂直，则实数的值为________．【答案】【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.【详解】两直线与互相垂直.所以，解得故答案为：【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.10．记为等差数列{}的前n项和，若，，则=_________.【答案】18【分析】根据等差数列通项和前n项和公式即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以．故答案为：18．11．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；【答案】4【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．【详解】因为， 所以.故答案为：4【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．12．求过点 的圆 的切线方程__________.【答案】或【分析】利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；当斜率存在，设其为k，则切线可设为.所以，解得：或.所以切线方程为：或.故答案为：或.13．已知，到直线的距离相等，则实数a为________.【答案】1或【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．【详解】两点，到直线的距离相等，，化为．，解得或．故答案为：1或．14．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.【答案】【分析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，则，解得.故答案为：．【点睛】本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．15．已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________【答案】或【分析】直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可【详解】由题意，直线恒经过定点，由直线的斜率公式，可得，要使直线与线段有公共点，或故答案为：或【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题16．已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.【答案】【分析】由点到该双曲线的渐近线的距离为2，可得的值，再依据双曲线定义和，可得的值，由三角形面积公式可得三角形的面积.【详解】双曲线的渐近线的方程为，右焦点由点到该双曲线的渐近线的距离为2可得，，则由，可得则三角形的面积为故答案为：三、解答题17．已知直线(1)若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；(2)直线与直线平行，求与之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．【详解】(1)直线，令，，则(2)直线与直线平行，则，得 当时，直线，即满足条件此时直线与之间的距离为18．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）.【解析】（1）由，，成等差数列可得，然后结合公比为2求出即可；（2）直接根据公式求出答案即可.【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列所以，所以，解得所以（2）【点睛】本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.19．若点为圆 的弦的中点．求：（1）直线的方程；          （2）△的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由圆中弦的中点与圆心所在直线与弦垂直有，即可求，结合所过的点写出弦所在方程.（2）由弦心距、半径与弦长的几何关系求弦长，应用点线距离公式，求圆心到直线AB的距离，即可求△的面积．【详解】（1）∵圆心C(1,0)，M(2,-1)，即，而∴，则AB：.（2）设圆心C到直线AB的距离为，即，而，∴.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其焦点为，.（1）求椭圆的标准方程；                                 （2）已知点在椭圆上，且，求的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设椭圆方程，由椭圆过点，其焦点为，，求出、、，即可求出椭圆方程；（2）由点在椭圆上，且，可求出，由焦点坐标可求出，由此可求出的面积.【详解】（1）由题意，椭圆过点，其焦点为，，所以设椭圆方程，则，，所以，所以椭圆的标准方程为：；（2）由题意，点在椭圆上，且，由椭圆定义知，，所以，又椭圆焦点为，，所以，，所以，所以的面积.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆定义的应用，属于基础题.21．已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆雉曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆雉曲线的焦点(1)若 ， 求曲线 的方程;(2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程；【答案】(1)和(2)，【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出曲线方程；（2）设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元，根据及结合图象得到，再利用韦达定理得到，即可得解；【详解】(1)解：因为，，所以，解得，所以曲线的方程为和；(2)解：曲线的渐近线为，设直线则又由数形结合知，所以设点，，，则所以，，所以，即点的轨迹为，；