2021-2022学年浙江省台州市九校联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省台州市九校联盟高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知，则（       ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】C

【分析】由题，利用基本初等函数的导数公式可求得导函数，代入即可求得结果

【详解】由题，故，

故选：C

2．（       ）

A．9 B．18 C．28 D．36

【答案】B

【分析】根据组合数公式计算出正确答案.

【详解】.

故选：B

3．某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中不高于165cm的同学数目约为（       ）

A．80 B．160 C．240 D．320

【答案】B

【分析】首先根据正态分布曲线得到，再求样本中不高于165cm的同学的人数即可.

【详解】，

则样本中不高于165cm的同学数目约为人.

故选：B

4．下列各式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算即可求解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D不正确.

故选：A.

5．已知的展开式中的系数为80，则m的值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】根据题意可得，利用二项式展开式的通项公式求出的项的系数，进而得出结果.

【详解】，

在的展开式中，由，

令，得r无解，即的展开式没有的项；

在的展开式中，由，

令，解得r=3，

即的展开式中的项的系数为，

又的展开式中的系数为80，

所以，解得.

故选：A.

6．已知随机变量的分布列为,则等于

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：先求期望，再求方差，．

详解：期望，所以，由方差的线性计算公式，解得．故选D．

点睛：若，方差的线性计算公式，与无关．

7．某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（       ）

A．90 B．216 C．144 D．240

【答案】B

【分析】先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将他们分配到四个医院即可.

【详解】完成这件事情，可以分两步完成，

第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有种方案；

第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有种不同方案，

所以根据分步乘法计数原理得共有种不同安排方案.

故选：B.

【点睛】本题考查分组分配问题和分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力,是中档题.本题解题的关键在于根据分组分配的方法先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将四组医生分别分配到医院.

8．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.

【详解】令，则

当时，，当时，

即函数在上单调递减，在上单调递增,

而 ，由可知 ，

故作出函数大致图象如图：

由图象易知，，

故选：C.．

二、多选题

9．为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(       )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算．

【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确；

第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确；

在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确；

在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误﹒

故选：ABC．

10．函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，从而得解；

【详解】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，

又，所以和为方程的两根且；

所以，，所以，，所以；

故选：BC

11．对任意的实数x，有，则以下结论成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用二项式定理的通项和赋值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，

令，则，故A错误.

对选项B，，

，令，解得，

所以，故B错误.

对选项C，，

令得：，故C正确.

对选项D，，

，

所以均为负数，均为正数，

因为，

所以，故D正确.

故选：CD

12．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（       ）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．若在上是“弱减函数”，则

D．若在上是“弱减函数”，则

【答案】BCD

【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.

【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；

对于B，，在上，函数单调递减，

，，∴在单调递增，故B正确；

对于C，若在单调递减，由，得，

∴，在单调递增，故C正确；

对于D，在上单调递减，

在上恒成立，

令，，令，

，

∴在上单调递减，，

∴，∴在上单调递减，，

∴，

在上单调递增，

在上恒成立，

∴，

令，，

∴在上单调递增，，

∴，

综上：，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知随机变量，若，，则的值为______.

【答案】

【分析】根据数学期望与方差的公式列出式子，进行计算即可.

【详解】由题可知：

所以为

故答案为：

【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望与方差，重在考查计算以及公式记忆，属基础题.

14．已知是函数的极值点，则______．

【答案】1

【分析】由题意可得，从而可求出的值，再检验即可

【详解】由题意可知，

由，得，

因为是函数的极值点，

所以，即，

解得或（舍去），

得，则，

当时，，当时，，

所以是函数的极小值点，

所以符合题意，

故答案为：1

15．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为_______．

【答案】

【分析】先对甲、乙、丙3位运动员进行排列，再利用插空法，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法；

在三位运动员形成的4个空隙中选两个，一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，共有种排法.

故答案为：.

16．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题，求出导函数，讨论其单调性得出其零点即为的最小值点，即可由恒成立得，解不等式，即可得出结果.（注意验证等号成立的条件）

【详解】由题，，在上单调递增，

当时，；当时，，

所以存在唯一零点，使得，即，

且该为函数的极小值点即最小值点，

故，所以，

易得当时，即时，等号成立，

故答案为：

四、解答题

17．求下列方程中的n值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)5

(2)4

【分析】（1）利用排列数公式求解；

（2）组合数的性质和组合数和排列数公式求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

化简得：，

∵且，

解得：；

(2)因为，

所以，

则，

化简得：

解得：.

18．已知函数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最小值为0，最大值为

【分析】（1）由导数得出函数的单调增区间；

（2）由单调性得出最值.

【详解】(1)解：由已知，得

令，可得，即

令，可得，即

故函数在上单调递增，在上单调递减.

即函数的单调增区间为.

(2)解：由（1）已知，得

函数在上单调递增，在上单调递减

故函数在处取得极大值，．

又因为，，

所以函数在上的最小值为0，最大值为．

19．某公司生产了两箱产品，甲箱的产品中有4个正品和3个次品，乙箱的产品中有5个正品和3个次品．

(1)从甲乙箱中各取1个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用古典概型的概率求解；

（2）设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，由 求解.

【详解】(1)解：从甲箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为；从乙箱中取1个产品的事件数为，取1个次品的事件数为．

所以2个产品都是次品的概率为

(2)设事件“从乙箱中取1个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥．

，，，

，，，

所以，

.

20．已知.

(1)讨论的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.

21．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，，.

【解析】（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.

【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，

两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，

两人都付元的概率为.

则两人所付费用相同的概率为；

（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，

则，，

，，

.

所以，随机变量的分布列为

.

.

【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

22．已知函数

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若在（1，）上恒成立，求a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）求定义域，求导，对进行分类讨论，求解不同取值范围下函数的单调性，进而确定符合题意的a的值.

【详解】(1)因为，所以，

又，所以曲线在处的切线方程为

(2)定义域为，

因为，所以

若，则恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增.

故当时，，不合题意，舍去；

若，则，所以当时，；当时：，则f（x）的单调递减区间为和，单调递增区间为

故当时，，不合题意；

若，则，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减.

故当时，，符合题意；

若，则，所以当时，：当时，则f（x）的单调递减区间为和，单调递增区间为

故当，，不合题意

综上所述：