2021-2022学年重庆市好教育联盟高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市好教育联盟高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知随机变量，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】根据二项分布期望的计算公式，即可求解.

【详解】由题意随机变量，可得.

故选：A.

2．函数从1到2的平均变化率为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】平均变化率为的变化量与变化量的比值，分别计算变化量，代入求值即可.

【详解】函数从1到2的平均变化率为．

故选：C.

3．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（       ）

A．12种 B．16种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．

故选：C

4． （       ）

A．8 B．10 C．15 D．20

【答案】D

【分析】由排列数的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由排列数的计算公式，可得.

故选：D.

5．已知事件和相互独立，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由独立事件的概率公式即可求出.

【详解】依题意可得.

故选：B.

6．函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先由在处的导数得到切线斜率，进而得到切线方程，再求得切线与坐标轴的交点，即可求解.

【详解】由题意可得，则切线斜率，

因为，

所以所求切线方程为，即，

令，得；令，得，

则所求切线与坐标轴围成的三角形的面积是，

故选：A

7．已知随机变量的分布列如下表：

若，则（       ）A．5 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列的性质以及均值，可求得m，n的值，从而求得，即可求得答案.

【详解】由题意可得：，

解得，则，

故，

故选：A

8．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则当利润最大时，（       ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【分析】设利润为y，则，将条件代入，可得为关于的函数，利用导函数判断函数的单调性，进而得到取得最大值时的值.

【详解】设利润为y，则，

所以．

则当时，；当时，，

故当利润最大时，，

故选：B

二、多选题

9．在下列函数中，求导正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，函数，可得，则A错误；

对于B中，函数，可得，则B正确；

对于C中，函数，可得，则C正确；

对于D中，函数，可得，则D错误.

故选：BC.

10．设，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】令可判断选项AB；令，令可判断选项CD.

【详解】令，解得，故选项A错误，B正确.

令，得，故选项C正确.

令，得，

故，即，故选项D正确.

故选：BCD．

11．甲、乙、丙三人参加某公司招聘面试，面试时每人回答3道题，3道题都答对则通过面试，已知甲、乙、两三人答对每道题的概率分别是，，，假设甲、乙、丙三人面试是否通过相互没有影响，且每次答题相互独立，则（       ）

A．甲通过该公司招聘面试的概率是

B．甲、乙都通过该公司招聘面试的概率是

C．甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是

D．在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是

【答案】ACD

【分析】根据相互独立的概率乘法公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、两三人通过招聘的概率分别，，，

所以甲通过该公司招聘面试的概率是，所以A正确；

甲、乙都通过该公司招聘面试的概率为，所以B不正确；

甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是，所以C正确；

在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是

，所以D正确.

故选：ACD.

12．已知均为锐角，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】先构造函数，利用导数求其单调性，再结合三角函数的单调性解题即可.

【详解】解：由题意得：

由，可得，

令，则，

因为为锐角，且单调递增，

所以，

故，即．

故选：AC

三、填空题

13．已知函数，则____________.

【答案】

【分析】求得函数的导数，得到，结合极限的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，所以，

根据极限的运算法则，可得.

故答案为：.

14．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸（单位：mm）服从正态分布，且，，则____________.

【答案】0.06

【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.

【详解】因为零件尺寸服从正态分布，

所以，，

所以.

故答案为：0.06

15．给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．

【答案】72

【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可.

【详解】当B，E同色时，共有种不同的方案，

当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有72种不同的方案．

故答案为：72.

四、双空题

16．的展开式中，共有____________项，的系数是_____________.

【答案】         

【分析】根据二项展开式的特征和二项展开式的通项，即可求解.

【详解】根据二项展开式的特征，可得二项式的展开式共有12项，

其中的系数为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数．

(1)若函数在R上单调递增，求实数m的取值范围；

(2)若函数，求在上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，

（2）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的值域

【详解】(1)因为，所以．

因为函数在R上单调递增，所以恒成立，

则，解得，

即实数m的取值范围是．

(2)因为，所以．

由，得或；由，得．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，，

所以在上的值域为．

18．4名男生和4名女生站成一排表演节目.

(1)4名女生互不相邻，有多少种不同的排法?

(2)4名男生在一起且4名女生在一起，有多少种不同的排法?

【答案】(1)2880

(2)1152

【分析】（1）不相邻问题用插空法，先将4名男生全排，再将4名女生插到所形成的5个空中的4个空中，按照分步乘法计数原理计算可得；

（2）相邻问题用捆绑法；

【详解】(1)解：4名女生互不相邻的排法数为.

(2)解：4名男生在一起且4名女生在一起的排法数为.

19．某市场供应的电子产品中，甲厂产品占．乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是．

(1)若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，求该产品是合格品的概率；

(2)在该市场中随机购买一件电子产品，已知买到的是合格品，求这件电子产品是甲厂生产的概率（结果精确到）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）考虑合格品的来源有两种可能，分类计算，根据全概率公式求得答案；

（2）根据条件概率的计算公式求得答案.

【详解】(1)设A，B分别表示买到的产品来自甲厂、乙厂，C表示买到的产品是合格品，

则，

所以 ,

．

(2)这件电子产品是甲厂生产的概率为 ．

20．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)讨论的极值.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为

(2)答案见解析

【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；

（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.

【详解】(1)当时，，

则.

由，得或；由，得.

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.

(2)

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，

故此时的极大值为，极小值为；

当时，，即在上单调递增.此时无极值；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为，极小值为.

综上所述：当时， 的极大值为，极小值为；

当时，，即在上单调递增.此时无极值；

当时， 的极大值为，极小值为.

21．甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为，乙每次杀球成功的概率为．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立．

(1)求的概率；

(2)求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.

（2）随机变量X的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.

【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率，          

甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率，          

甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，          

故的概率．

(2)由题意可知X的所有取值是0，1，2，3，4．                  

，        

，

，        

．          

则X的分布列为

故．

22．已知函数．

(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．

(2)证明：对任意的，．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将问题转化为证明只有一个根，令，利用导数可求得，当且仅当时，，由此可证得结论；

（2）由（1）可得，即，得到，由此可得，根据对数运算法则整理即可得到结果.

【详解】(1)要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，

即证只有一个根，即只有一个根．

令，，则．

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，．

恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，

即函数的图象与直线只有一个公共点．

(2)由（1）知：恒成立，

即恒成立（在时等号成立）．

，，即，

，，，…，

，，

，即．