2021-2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】直接利用数量积和模的计算即可求解.

【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，

所以，

所以.

故选：C

2．若复数，则下列说法正确的是（       ）

A．的虚部为 B．

C．在复平面上对应的点位于第三象限 D．的共轭复数为

【答案】B

【分析】将复数化简成复数的代数形式，即可依次判断各个选项的正误.

【详解】因为复数，

所以，的虚部为，故A错误；

，所以，故B正确，D错误；

在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C错误；

故选：B.

3．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，设，，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案．

【详解】解：因为，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，，

由，不一定有，与可能相交；

反之，由，可得或与异面．

，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，

则“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

4．已知圆锥的顶点为O，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，求得正三角形的边长为，得到圆锥的高为，底面圆的半径为，结合圆柱的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，

设正三角形的边长为，可得，解得，

即圆锥的高为，底面圆的半径为，

所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为：

，

故选：D.

5．在中三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的值为（       ）

A．3 B． C． D．4

【答案】A

【分析】依题意，利用余弦定理可求出c的值.

【详解】因为在中，，

所以，即，

由余弦定理可知，即，解得或，

因为，所以，

故选：A.

6．若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用投影向量的定义直接求解.

【详解】因为，，向量与向量的夹角为150°，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：D

7．如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】要满足平面，只需要寻找一个平面，使该平面经过，且与平面平行即可, 取的中点G，的中点H，连结.证明出面面.得到点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形，求出周长即可.

【详解】取的中点G，的中点H，连结.

正方体的棱长为2.为中点，所以,所以且.

因为为分别为的中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以.

因为面，面，所以面.

同理可证：面.

又,面,面,

所以面面.

所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形.

因为正方体的棱长为2，所以,

所以三角形的周长为.

故选：B

8．在中，角的对边分别为．已知，且，点满足， 且，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知结合余弦定理可求出，然后结合重心的性质及向量数量积的性质可求出，然后根据三角形的面积公式可求得结果

【详解】因为，

所以，得，

因为，所以，

因为，

所以，

所以，

所以，所以，

所以

因为，

，

化简得，解得或（舍去），

所以

,

设边的中点为，则，

因为，所以，即为的中点，

所以，

故选：A

二、多选题

9．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A：由点A可能在面α内，也可能不在面α内.可以判断；

对于B：利用公理2判断；

对于C：利用公理1判断；

对于D：说明直线与平面有公共点，又，所以，即可判断.

【详解】对于A：,则点A可能在面α内，也可能不在面α内.故A错误；

对于B：为公理2，可判断面面相交.故B正确；

对于C：为公理1，可判断出线在面内.故C正确；

对于D：说明直线与平面有公共点，又，所以.故D正确.

故选：BCD.

10．已知向量，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．与可以作为一组基底

C． D．与方向相同

【答案】AC

【分析】A.利用共线向量定理判断；B. 利用基底的定义判断；C. 利用向量的线性运算求解判断； D. 利用共线向量定理判断；

【详解】A. 因为向量，，所以，则，故正确；

B. 由A知：，所以与不可以作为一组基底，故错误；

C. 因为向量，，所以，故正确；

 D. 因为向量，，所以，则，所以与方向相反，故错误；

故选：AC

11．在的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（       ）

A．若，则该为等腰三角形

B．若，则

C．若，，，则符合条件的三角形有两个

D．若的面积，，则的最大值为1

【答案】BCD

【分析】对于A：由题意变形得或，即可判断；

对于B：利用正弦定理直接判断；.

对于C：利用正弦定理直接判断；.

对于D：先求出.利用正弦定理得到，利用三角函数求最值.

【详解】对于A：因为，所以或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形.故A错误；

对于B：在中，由正弦定理得：.

因为，所以.故B正确

对于C：因为，，，所以,所以，

所以符合条件的三角形有两个.故C正确；

对于D：三角形面积且可得.因为，所以,故所以.

因为，所以.

由正弦定理可得：.

因为，所以，所以，所以，

当且仅当时,等号成立.故选项D正确.

故选：BCD

12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（       ）

A．长方体中含有两个相同的等腰四面体

B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形

C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到

D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为

【答案】ABC

【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项．

【详解】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确；

如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，

如图，设的长分别为，不妨设，

则，，，最大，

其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；

把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，

如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确；

如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错。

故选：ABC．

三、填空题

13．____________.

【答案】

【分析】利用复数的四则运算直接求解.

【详解】.

故答案为：

14．水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形．点是斜边的中点，且，则边的高为________.

【答案】

【分析】利用斜二测法直接求解.

【详解】由斜二测法知该△ABC是直角三角形,∠ABC=90°，且.

在等腰直角三角形中，点O是斜边的中点,且,所以.

根据直观图中平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度变为原来的一半,可得：

在△ABC中，,

所以边的高为.

故答案为：

15．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角________.

【答案】

【分析】由向量共线的坐标表示得到，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；

【详解】解：因为，且，

所以，由正弦定理可得，

即，由余弦定理，因为，所以

故答案为：

16．已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.

【答案】

【分析】设出向量坐标，根据题目条件得到，进而得到，求出的最小值.

【详解】因为，不妨设，

因为，

不妨设

所以，

因为，

所以，，

故，

所以，当且仅当时等号成立，

所以

故答案为：

四、解答题

17．请按题目要求作答以下两题：

(1)已知复数为纯虚数（为虚数单位），求实数的值；

(2)在复数范围内解关于的方程：．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据纯虚数的概念得到方程（不等式）组，解得即可；

（2）首先求出，再根据求根公式计算可得；

【详解】(1)解：因为为纯虚数，

所以，解得或；解得且，所以

(2)解：方程，则，

所以，

即方程的两虚根分别为或

18．已知向量，．

(1)若，求的值；

(2)若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)且

【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范围；

【详解】(1)解：因为，，

所以，，

因为，所以，解得；

(2)解：因为，且与的夹角为钝角，

所以且与不反向，

由，解得，

当即时与反向，故，

综上可得且

19．已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，A为锐角，.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；

（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最值，最后根据计算可得；

【详解】(1)解：因为，由正弦定理可得，，所以，所以，因为，所以，所以.

(2)解：由余弦定理，，即，又，当且仅当时取等号，即，解得当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等，故得最大值为4.

20．在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点.

(1)的中点为，证明：平面平面；

(2)请画出过点，，的平面与平面的交线，证明．

【答案】(1)证明见解析；

(2)在平面内过作直线，证明见解析．

【分析】（1）连接，证明，，得线面平行，然后可得面面平行；

（2）在平面内过作直线，即为所求，由线面平行的判定定理与性质定理证明．

【详解】(1)连接，

因为，且，是平行四边形，

所以且，所以是平行四边形，，同理，

平面，平面，所以平面，同理平面，

又，平面，

所以平面平面；

(2)在平面内过作直线，即为平面和平面的交线；

证明如下：

设平面和平面的交线为

由（1），平面，平面，所以平面，

又平面，平面平面，

所以，所以．

21．某城市有一块如图所示的扇形空地块，扇形的半径为，圆心角为，为弧上一动点，为半径上一点且满足．

(1)若，求的长；

(2)该市城建部门欲在地块修建一个三角形活动场所，供人民群众休闲娱乐.如何确定点位置，使面积最大，并求出最大值（结果用表示）．

【答案】(1)a

(2)点A位于的中点处最大

【分析】（1）利用余弦定理即可求得；

（2）先判断出，利用余弦定理和基本不等式求出面积的最大值.

【详解】(1)在中，，,，由余弦定理得：

,即，

解得：（舍去）.

所以

(2)因为圆心角，，所以.

所以点O、M到AB的距离相等，所以.

设，，在中，由余弦定理得：

，

所以（当且仅当时“=”成立）.

所以面积最大值.

所以

此时，所以，所以点A位于的中点处.

22．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

(1)延长交于点Q（图1），求的值；

(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．

（i）求证为定值；

（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）.

【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；

（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.

【详解】(1)依题意，因为，

所以，

因为是线段的中点，所以，

设，则有，

因为三点共线，所以，解得，

即，所以，所以；

(2)（i）根据题意,

同理可得：，

由（1）可知，，

所以，

因为三点共线，所以，

化简得，

即为定值，且定值为3；

（ii）根据题意，，

，

所以，

由（i）可知，则，

所以，

易知，当时，有最小值，此时.