2021-2022学年浙江省温州环大罗山联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省温州环大罗山联盟高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知命题，，则是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由全称命题的否定可得出结论.

【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，，

故选：D.

2．如图中有5组数据，去掉1组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大，则去掉的数据是（       ）

A．E B．C C．A D．D

【答案】D

【分析】直接根据图像结合相关性的大小判断即可.

【详解】观察散点图可知，除外，其余四点更均匀的分布在一条直线附近，故去掉点后，线性相关性最大.

故选：D.

3．设x，y都是实数，则“且”是“或”的（       ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

【答案】A

【分析】直接根据充分性和必要性进行判断即可.

【详解】由题意知：且能推出或，满足充分性；反过来或不能推出且，不满足必要性，

故“且”是“或”的充分非必要条件.

故选：A.

4．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案.

【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，

共有 种取法；

其中恰有1件不合格品的取法有种取法，

故恰有1件不合格品的概率是，

故选：A.

5．若随机事件A，B满足，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由题意计算出，再根据条件概率求出即可.

【详解】由题意知：，可得，故.

故选：D.

6．已知函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由定义域可排除A;令，计算的值，排除B,根据函数的奇偶性排除D，可得正确答案.

【详解】由图象可知，函数的定义域为 ，

对于， ，故A错误；

当时，，故B错误；

对于，满足，

故为偶函数，不符合题意，故D错误，

故选：C

7．为有效阻断新冠肺炎疫情传播途径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某地启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该地现有5名医生和3名保安将被派往3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少增加1名医生和1名保安，则不同的安排方法共有（       ）

A．1440种 B．900种 C．246种 D．156种

【答案】B

【分析】先将5名医生分成三组再分配到3个医院共有种，然后将3名保安派往3个医院有种，利用分步乘法即可求解结果．

【详解】根据题意，这5名医生人数分配方案共有两类：第一类是1，1，3，第二类是1，2，2，

故不同的安排方法共有种；

3名保安被派往3个医院的不同安排方法有种，

所以要求的不同的安排方法共有种．

故选：B.

8．已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：，

①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；

②当，即时，

则，

所以，所以，当且仅当时取等号，

此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；

③当，即时，

则，

当，即时，

，所以，

不妨设，则，即，

故，此时无最大值，与题意矛盾；

当，即时，

，所以，当且仅当时取等号，

此时有最大值，符合题意；

当，即时，

恒不成立，不符题意，

综上所述，若存在最大值，.

故选：C.

二、多选题

9．已知实数x，y满足，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.

【详解】由，，知，，A、C正确；

，故，B错误；，故，D错误.

故选：AC.

10．若，其中（，1，…，5）为实数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】令 ，则可得，判断A;将变形为，可求得，判断B;

由B的分析可求得，判断C;赋值法求得系数和，结合，判断D.

【详解】令 ，则可得 ，故A错误；

，

故，故B正确；

由以上分析可得，

故，C正确；

令，则，而，

故，即，故D正确，

故选：BCD

11．甲罐中有5个红球，2个白球，乙罐中有4个红球，3个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，表示从甲罐取出的球是红球、白球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

【答案】BD

【分析】根据每次取一球，易得，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.

【详解】因为每次取一球，所以，不可能同时发生，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，所以，故A错误；

所以，故B正确；

由于，故事件与事件不相互独立，故C错误.

故选：BD

12．对于函数，若，则称是的不动点：若，则称是的稳定点，则下列函数有稳定点的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】先求出，再求出，结合新定义，依次判断选项即可.

【详解】A：函数的定义域为，

假设存在稳定点，则，，

所以对，均有，故A有稳定点；

B：函数的定义域为R，

假设存在稳定点，则，，

而在R上无解，故B无稳定点；

C：，当时，，

而，故，故C有稳定点；

D：，当时，，

而，故，故D有稳定点.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知随机变量，且，则______.

【答案】

【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.

【详解】由已知可得.

故答案为：.

14．的展开式中x的系数是______.

【答案】

【分析】直接由二项展开式计算出含的项，即可求解.

【详解】根据二项展开式知，含的项为：，故x的系数是.

故答案为：.

15．已知，当取到最小值时，则______.

【答案】

【分析】先将化为，再结合基本不等式即可求出最小值及此时的值.

【详解】由题意知：，

当且仅当，即时取等.

故当取到最小值时，.

故答案为：.

16．有两堆集装箱，一堆4个，另一堆3个，要把这7个集装箱搬离原来位置，每次只能搬动一个集装箱，按照从上到下的顺序搬离，则A箱子在第4次搬离的概率是______.

【答案】

【分析】转化为定序问题，再由古典概型求解

【详解】由题意，7个集装箱按照从上到下的顺序搬离共有种，

A箱子在第4次搬离时，前3次搬动顺序有3种情况，后3次搬动顺序有3种情况，共种，故所求概率．

故答案为：

四、解答题

17．已知集合______，集合．从下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中．①；②；③.

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先分别求两个集合，再求集合的运算；

（2）由条件可知，分和两种情况，求实数的取值范围.

【详解】(1)若选①，则，所以，

若选②，得，

若选③，得，

时，，

；

(2)

当，，得

当，得

∴．

18．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.

(1)求2022年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．

【答案】(1)

(2)30万人时利润最大，最大为205万

【分析】（1）由题意列函数关系式

（2）求分段函数在每一段上的最值后比较

【详解】(1)

即

(2)当时，

当时，

当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，

故

综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万．

19．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

(1)求关于的经验回归方程；

(2)计算变量、的样本相关系数（计算结果精确到），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强．（若，则、相关程度很强；若，则、相关程度一般：若，则、相关程度较弱．）参考数据：．

【答案】(1)

(2)相关系数约为，可以

【分析】（1）设经验回归方程为，计算出、的值，利用最小二乘法公式求出、的值，即可得出关于的经验回归方程；

（2）根据公式计算出相关系数的值，可得出结论.

【详解】(1)解：设经验回归方程为，由题意得，，，

由公式求得，，

故关于的线性回归方程为．

(2)解：，则，说明、负相关，

又，因此，可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强.

20．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求的值，并写出的单调减区间（不必证明）；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，函数的单调递减区间为，无增区间

(2)

【分析】（1）由可求得的值，再检验函数为奇函数，化简函数解析式为，即可得出函数的减区间；

（2）由函数的单调性与奇偶性可得出在上恒成立，令，分、、三种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.

【详解】(1)解：因为是定义在上的奇函数，则，解得，

此时，该函数的定义域为，

，

故函数为奇函数，

且，

所以，函数的单调递减区间为，无增区间.

(2)解：因为，且函数在上单调递减，

所以，在上恒成立，即在上恒成立，

令，该函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，函数在上单调递增，

则，解得，此时；

②当时，即当时，则，解得，此时；

③当时，即当时，此时函数在上单调递减，

则，解得，此时.

综上所述，.

21．某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛，已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中.

(1)甲、乙两人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，试比较ξ的方差与大小．

【答案】(1)甲进决赛大

(2)

【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙进入决赛的概率，比较可知；

（2）由（1）中结果计算可得p，然后可得分布列，再由公式计算可得.

【详解】(1)记甲、乙两人进入决赛的概率分别为

则，，（），

所以，甲进决赛的可能性最大；

(2)由题知，，解得，

所以

所以

得分布列：

所以，

，

.

22．已知，a为实数．

(1)若，求的最大值；

(2)若存在两个不相等的实数，，满足，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）易得，分和讨论求解；

（2）由题意得，根据，得到，证明，即证，由作差比较；证明，令，将代入，得到，在时有解证明.

【详解】(1)解：，

当时单调递增，

当时在单调递增，在先减后增或者递减（下凸），

∴

(2)由（1）知：若存在两个不相等的实数，，则，

的图象，如图所示：

由图象得，

∵，

∴，即

下证，即证

∵，，

则，

得，即.

下证，

令，则代入，

得，

则在时有解，

∴，即，

∴．即.