2022年浙江省杭州市中考数学考前模拟冲刺试题

2022年浙江省杭州市中考数学考前模拟冲刺试题

满分120分，考试时间100分钟

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（　　）

A．乙＞甲 B．甲＞乙 C．甲＝乙 D．无法确定

2．（3分）已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）

A．16 B．20 C．25 D．30

3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（　　）

A．1 B． C． D．2

4．（3分）已知函数y＝kx+b的图象如左侧图象所示，则y＝﹣2kx+b的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

5．（3分）将某图形的各点的横坐标加上2，纵坐标保持不变，可将该图形（　　）

A．横向向右平移2个单位 B．横向向左平移2个单位 

C．纵向向上平移2个单位 D．纵向向下平移2个单位

6．（3分）甲乙二人做出拳（石头、剪刀、布）游戏，则甲赢的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，以DE为直径的⊙O与AB相切于点E，若DE＝5，BE＝2，则AB等于（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+1﹣a的图象只过三个象限，则a的取值范围为（　　）

A．＜a≤1 B．0＜a＜ C．﹣1＜a＜0 D．a＜﹣1

9．（3分）如图，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，若AB＝6，AD＝5.5，CD＝4，则EF＝（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象上，则（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．（4分）把6x2y﹣8xy2分解因式时应该提取公因式是　   　．

12．（4分）一组数据：5，5，5，5，5，计算其方差的结果为　   　．

13．（4分）如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，如果∠1＝25°，那么∠2＝　   　°．

14．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为 　   　．

15．（4分）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为9cm，则a的取值范围是　   　．

16．（4分）如右图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，拆痕为EF，则重叠部分△DEF的面积是 　   　cm2．

三．解答题（共7小题，满分66分）

17．（6分）计算：（1+）÷．

18．（8分）大课间是学校的校体课程之一，涉及的范围广，内容繁多．某校根据实际情况决定开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目，为了了解学生最喜欢哪一项运动，随机抽取了600名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计图，结合图中信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）制作扇形统计图；

（3）若该校有学生2400人，请问：喜欢打乒乓球的学生人数大约有多少人？

19．（8分）已知在△ABC中，DA、EA为线段AB、AC反向延长线上的线段，已知∠E＝∠B，AE＝AB．

求证：DE＝BC．

20．（10分）如图，直线y＝x+b与y轴交于点A（0，4），与函数y＝（k＞0，x＜0）的图象交于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，使顶点B，D落在x轴上（点D在点B的右边），BD与AC交于点E．

（1）求b和k的值；

（2）求顶点B，D的坐标．

21．（10分）如图1，点C是线段AB上一动点，分别以线段AC、CB为边，在线段AB的同侧作正方形ACDE和等腰直角三角形BCF，∠BCF＝90°，连接AF、BD．

（1）猜想线段AF与线段BD的数量关系和位置关系（不用证明）．

（2）当点C在线段AB上方时，其它条件不变，如图2，（1）中的结论是否成立？说明你的理由．

（3）在图1的条件下，探究：当点C在线段AB上运动到什么位置时，直线AF垂直平分线段BD？

22．（12分）如图，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点A在点B的左边），点M是该函数图象的顶点．

（1）求点B、M的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝S△MAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且＝，AB＝8cm，P是AB上一动点，连结CP并延长交⊙于点D．

（1）若∠APC＝60°，求OP的长；

（2）若点P与O重合，点E在CO上，F在OA上，CE＝1cm．根据题意画图，并完成以下问题：

①当OE＝OF时，判断BE和CF的位置关系和数量关系，并说明理由；

②连结BE并延长交⊙O于M，连结DM交AB于点F，求的值．

2022年浙江省杭州市中考数学考前模拟冲刺试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．【解答】解：甲、乙都是正整数，如果甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲数小于乙数，即乙数大于甲数．

故选：A．

2．【解答】解：∵a＝5+4b，

∴a﹣4b＝5，

∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．

故选：C．

3．【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，

∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，

∴DE＝AD＝2，

故选：D．

4．【解答】解：∵由函数y＝kx+b的图象可知，k＞0，b＝1，

∴y＝﹣2kx+b＝2kx+1，﹣2k＜0，

∴|﹣2k|＞|k|，可见一次函数y＝﹣2kx+b图象与x轴的夹角，大于y＝kx+b图象与x轴的夹角．

∴函数y＝﹣2kx+1的图象过第一、二、四象限且与x轴的夹角大．

故选：C．

5．【解答】解：某图形的各点的横坐标加上2，纵坐标保持不变，可将该图形向右平移2个单位，

故选：A．

6．【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，甲获胜的情况数是3种，

∴甲赢的概率为＝．

故选：B．

7．【解答】解：设AB＝x，则AE＝x﹣2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝x，

∵DE为直径的⊙O与AB相切于点E，

∴DE⊥AB，

在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，

∴（x﹣2）2+52＝x2，解得x＝，

故选：A．

8．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，抛物线图象只过三个象限，

∴当a＞0，抛物线经过第一、二、三象限，当a＜0，抛物线经过第二、三、四象限

∴当a＞0时，，解得＜a≤1；

当a＜0时，，无解，

所以a的范围为＜a≤1；

故选：A．

9．【解答】解：连接CE，

∵△ABC与△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝6，AD＝AE＝5.5，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠AED＝∠B＝60°，

∴△ABD∽△AEF，

∴＝，

∵BC＝6，CD＝4，

∴BD＝2，

∴＝，

∴EF＝，

故选：C．

10．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴C（5，y3）关于对称轴的对称点为（﹣3，y3）

∵a＝﹣1＜0，

∴x＜1时，y随x的增大而增大，

∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜1，

∴y3＜y1＜y2．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．【解答】解：6和8的最大公约数为2，x2y与xy2的公因式为xy，

故把6x2y﹣8xy2分解因式时应该提取公因式是2xy．

故答案为：2xy．

12．【解答】解：＝×（5+5+5+5+5）＝5，

S2＝×[（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2]＝0，

故答案为：0．

13．【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠2，

∵∠1+∠ABC＝45°，

∴∠1+∠2＝45°，

∵∠1＝25°，

∴∠2＝20°，

故答案为20．

14．【解答】解：过O点作OF⊥CD于F，如图，

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠CAB）＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠BOC＝2∠A＝60°，

∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

∴△COF为等腰直角三角形，

∴OF＝OC＝×2＝，

∴OE的最小值为．

故答案为．

15．【解答】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，

根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+a＝a（cm）

而此时还要敲击1次，

∵a的最大长度为：6cm，

故a＜9，

第三次敲击进去最大长度是前一次的，也就是第二次的×a＝a（cm），

∴，

∴a的取值范围是：≤a＜．

故答案是：≤a＜．

16．【解答】解：长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝9，∠C＝90°

根据翻折可知：

∠A′＝∠C＝90°，A′D＝DC＝3，A′E＝AE，

设AE＝A′E＝x，则DE＝9﹣x，

在Rt△A′ED中，根据勾股定理，得

（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4，

∴DE＝9﹣x＝5，

∴S△DEF＝DE•CD＝×5×3＝7.5（cm2）．

故答案为：7.5．

三．解答题（共7小题，满分66分）

17．【解答】解：原式＝•

＝•

＝1．

18．【解答】解：（1）600﹣（240+60+120）＝180（人），补全条形统计图如图所示：

（2）＝40%，＝30%，＝10%，＝20%，

360°×40%＝144°，360°×30%＝108°，360°×10%＝36°，360°×20%＝72°；

制作的扇形统计图如图所示：

（3）2400×＝960（人），

答：该校喜欢乒乓球的人数大约是960人．

19．【解答】证明：在△AED和△ABC中，

，

∴△AED≌△ABC（ASA），

∴DE＝BC．

20．【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与y轴交于点A（0，4），

∴b＝4，

∴直线为y＝x+4，

令y＝0，解得x＝﹣3，

∴E（﹣3，0），

∵四边形ABCD是矩形，

∴E（﹣3，0）是AC的中点，

∴C（﹣6，﹣4），

∵点C在函数y＝的图象上，

∴k＝﹣6×（﹣4）＝24；

（2）∵AE2＝AO2+EO2，

∴AE＝＝5，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ED＝EB＝EA＝5，

∴B（﹣8，0），D（2，0）．

21．【解答】解：（1）如图a，延长AF到DE于点M，

在△ACF和△DCB中，

∵，

∴△ACF≌△DCB（SAS），

∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDE，

∵∠AFC＝∠DFM，∠AFC+∠FAC＝90°，

∴∠DFM+∠FDM＝90°，

∴AF⊥BD．

（2）答：（1）中的结论仍成立，即AF＝BD，AF⊥BD．

理由：如图1，

∵四边形ACDE为正方形，∴∠DCA＝90°，AC＝CD．

∵∠BCF＝90°，CF＝BC，∴∠DCA＝∠BCF＝90°，

∴∠DCA+∠DCF＝∠BCF+∠DCF，

即∠ACF＝∠DCB，

在△ACF和△DCB中，

∵，

∴△ACF≌△DCB（SAS），

∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB．

又∵∠1＝∠2，∠CAF+∠1＝90°，∴∠CDB+∠2＝90°，

∴AF⊥BD．

（3）探究：当AC＝AB时，直线AF垂直平分线段BD．

如图2，连接AD，则AD＝AC．

∵直线AF垂直平分线段BD，∴AB＝AD＝AC，

∴AC＝AB．

22．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴M点坐标为（1，﹣4）；

（2）存在．

理由如下：

设P（t，t2﹣2t﹣3），

∵S△PAB＝S△MAB，

∴×（3+1）×|t2﹣2t﹣3|＝××4×4，

当t2﹣2t﹣3＝6，解得t1＝1+，t2＝1﹣，此时P点坐标为（1+，6）或（1﹣，﹣6），

当t2﹣2t﹣3＝﹣6，方程没有实数解．

综上所述，P点坐标为（1+，6）或（1﹣，﹣6）．

23．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，且＝，

∴OC⊥AB．

∵AB＝8cm，

∴OC＝OA＝OB＝4cm，

在Rt△POC中，

∵tan∠APC＝，

∴OP＝＝（厘米）；

（2）①BE和CF的位置关系为：BE⊥CF，数量关系为：BE＝CF．理由：

依题意画出图形如下：

延长BE交FC于点H，

∵AB是⊙O的直径，且＝，

∴OC⊥AB．

在△OFC和△OEB中，

，

∴△OFC≌△OEB（SAS）．

∴CF＝BE，∠C＝∠B．

∵∠AOC＝90°，

∴∠C+∠COF＝90°．

∴∠COF+∠B＝90°．

∴∠BHF＝90°．

∴BE⊥CF．

②依题意画出图形如下：连接MC，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DMC＝90°．

∵CD⊥AB，

∴．

∴∠DMB＝∠CMB．

即MB平分∠DMC．

∴．

∵CE＝1cm，OC＝OD＝4cm，

∴DE＝CD﹣CE＝8﹣1＝7cm．

∴．

∵∠FOD＝∠CMD＝90°，∠D＝∠D，

∴△DOF∽△DMC．

∴．

∴OF＝．

∵OE＝OC﹣CE＝3cm，

∴．