2022年广东省汕头市澄海区中考数学模拟试卷（含解析）

2022年广东省汕头市澄海区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒．数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 一个不透明的袋子中装有个白球，个黑球，它们除了颜色外都相同．将球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球．两次摸到的球颜色相同的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 文具店销售某种书袋，每个元，王老师计划去购买这种书袋若干个．结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，总价钱会便宜元”王老师说：“那就多买一个吧，谢谢”根据两人的对话可求得王老师原计划要购买书袋个．

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
    ；
    关于的不等式的解集为；
    ；
    ．
    其中正确结论的个数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 分解因式： ______ ．
12. 若，则______．
13. 计算______．
14. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为______参考数据：，，
     

15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若轴，则的面积为______．
    
     

16. 如图所示，由个有公共顶点的等腰直角三角形拼成的图形，若，则的长为______．

17. 如图，在中，，点在边上．将沿直线翻折，点落在点处，连接，交于点若，，则的值为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 解不等式组：．
20. 人们对网购的热衷促进了快递行业的发展，某快递站点为提高投递效率，给快递员配备了电动车，结果平均每人每天比原来多投递件．若快递站点的快递员人数不变，站点投递快件的能力由每天件提高到件．求现在平均每人每天投递快件多少件？
21. 如图，在中，，是的中点，点在的延长线上．
    作的平分线，连结，并延长交于点，连结用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹；
    在的条件下，判断四边形的形状，并证明你的结论．

22. 我市某学校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查每人只选一类最喜欢的课程，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

______，______，扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角______；
若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；
七班计划在“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程中任选两类参加学校展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率．

23. 如图，直线与相离，过点作于点，交于点，延长交于点点、在直线上，连接并延长交于点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，，，求的半径和弦的长．
24. 如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上不与两端点重合，过点作于点，连接．
    求证：∽；
    若，求的长；
    若，求折叠后重叠部分的面积．
25. 如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点坐标为，对称轴为点为线段上的一个动点不与两端点重合，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
    求抛物线及直线的表达式；
    过点作，垂足为点求线段的最大值；
    试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的相反数是，
故选：．
根据有理数的乘方的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，有理数的乘方，掌握与的区别是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次摸出的球颜色相同有种情况，
两次摸出的球颜色相同的概率为，
故选：．
先画出树形图得到所有等可能的结果数，再由概率公式即可求出两次摸出的球颜色相同的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据平方差公式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，平方差公式，同底数幂的除法，掌握是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：根据题意，得，
解得，
，
故选：．
根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：点、的坐标分别为、，
，，
，
四边形是菱形，
，，
点坐标为，
故选A．
由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质求出，，，由等腰三角形的性质求出的度数，由平行线的性质可求出，则可求出答案．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：设原计划购买书袋个，
由题意可得：，
解得，
即原计划购买书袋个，
故选：．
根据题意可知：原价的总价打折后的总价，即可列出相应的方程，然后解方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
 

10.【答案】

【解析】抛物线对称轴为直线，
，
，正确．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
的解集为错误．
时，，正确．
抛物线经过，
，
，
，
，
，错误．
故选：．
由抛物线对称轴可得与的关系从而判断，由抛物线经过及抛物线的对称轴可得抛物线与轴另一交点坐标，从而判断，由抛物线经过及与的关系可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解 运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：，，
，，
，，


．
故答案为：．
根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，代入代数式求值即可得出答案．
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：


．
故答案为：．
先通分，再进行减法运算即可．
本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】

【解析】解：在中，
，，，



．
故答案为：．
在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：轴，

，，
，
故答案为：．
利用反比例函数的比例系数的几何意义得到，，便可得的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

16.【答案】

【解析】解：由图可知，，，
：：：：：：：：，
，
，
同理可得，，

．
故答案为：．
由，，可知：：：：：：：：，由此可求出的长．
本题主要考查等腰直角三角形的三边关系，属于基础题，掌握等腰直角三角形的三边关系是解题基础．
 

17.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
设，则，
由折叠性质可得，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在等腰中，，
，
，
故答案为：．
由可得，从而可得，可得，由折叠性质可得，从而可得，设，则，由折叠性质可得，从而可得，可得，则，从而可得，在等腰中，可得，即可求解．
本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是利用折叠性质得到为等腰直角三角形，从而求出与的关系．
 

18.【答案】解：


．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

19.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：设现在平均每人每天投递快件件，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：现在平均每人每天投递快件件．

【解析】设现在平均每人每天投递快件件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，，即为所求；

四边形是平行四边形，理由如下：
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】根据角平分线的画法即可完成画图；
根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和可得，可得，然后证明≌，可得，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到≌．
 

22.【答案】   

【解析】解：调查的总人数为人，
，
，
；
；
故答案为：；；；
人，
估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数为人；
画树状图为：用、、、分别表示“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程

共有种等可能的结果，其中恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的结果数为，
所以恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率．
用选圆艺的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，则利用总人数分别减去选烹饪、园艺、木工、缝纫的人数得到的值，接着用选缝纫的人数除以总人数得到的值；然后用乘以选烹饪人数所占的百分比得到的度数；
用乘以样本中选圆艺人数所占的百分比即可；
画树状图用、、、分别表示“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程展示所有种等可能的结果，再找出选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】证明：连接，如图，

，
，
，
．
，
，
．
，
，
即，
．
为圆的半径，
是的切线；
解：连接，如图，

圆的半径为，
，
，
．
．
，，
，，
．
解得：．
．
是的直径，
，
．
，
∽，
．
，
，
．

【解析】连接，利用垂直的意义，同圆的半径相等以及切线的判定定理解得即可；
连接，利用等腰三角形的判定和勾股定理，列出关于的方程，解方程即可求得结论；利用相似三角形的判定与性质得到关于的关系式，利用勾股定理列出关于的方程即可．
本题主要考查了圆的切线的判定，垂直的意义，同圆的半径相等，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

24.【答案】证明：由折叠可知：，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：由得∽，
，
，
，
；
解：，
，，
连接，

在中，
，
由对称性得，
设，则，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，，
，且，
∽，
，
，
，
由题意得四边形为矩形，
，
，
折叠后重叠部分的面积


．

【解析】利用等角的余角相等得，从而证明结论；
由得∽，可得，从而得出的长；
连接，首先由勾股定理得的长，从而得出的长，设，则，，利用勾股定理可得，再利用∽，得的长，由∽可得，的长，从而求出重叠部分的面积．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线对称轴为，点与关于直线对称，
，
设，把代入得：，
解得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
故抛物线解析式为，直线的解析式为；
设，则，
，
，，
，
轴，
轴，
，
，
，
，
当时，的最大值为；
存在，设，
，，
，，，
以，，为顶点的三角形是等腰三角形，
或或，
当时，，
解得：舍去或，
；
当时，，
解得：舍去或，
；
当时，，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，则，，由，可得，再由平行线性质可得，根据三角函数定义可得，利用二次函数最值即可得出答案；
设，利用勾股定理或两点间距离公式可得：，，，根据等腰三角形性质分三种情况：或或，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，三角函数，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，两点间距离公式等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．