第7讲 解析几何（2022年高考真题）（解析版）

第7讲 解析几何

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；

【详解】

解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，

所以，因为，所以在双曲线的右支，

所以，，，设，，

由，即，则，，，

在中，

，

由正弦定理得，

所以，

又，

所以，即，

所以双曲线的离心率

故选：C

2．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】

解：，

设，则，

则，

故，

又，则，

所以，即，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

3．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】

由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.

【详解】

解：因为离心率，解得，，

分别为C的左右顶点，则，

B为上顶点，所以.

所以，因为

所以，将代入，解得，

故椭圆的方程为.

故选：B.

二、多选题

5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.

【详解】

对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，

代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；

对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线得，解得，则，

则，B错误；

对于C，由抛物线定义知：，C正确；

对于D，，则为钝角，

又，则为钝角，

又，则，D正确.

故选：ACD.

6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】

将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；

，所以直线的方程为，

联立，可得，解得，故B正确；

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

所以，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，得，

所以，所以或，，

又，，

所以，故C正确；

因为，，

所以，而，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

【答案】13

【解析】

【分析】

利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】

∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

8．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】

解：关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

9．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

【答案】

【解析】

【分析】

令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；

【详解】

解：令的中点为，因为，所以，

设，，则，，

所以，即

所以，即，设直线，，，

令得，令得，即，，所以，

即，解得或（舍去），

又，即，解得或（舍去），

所以直线，即；

故答案为：

10．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

【答案】或或

【解析】

【分析】

先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】

圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为

O到l的距离，解得，所以l的方程为，

当切线为m时，设直线方程为，其中，，

由题意，解得，

当切线为n时，易知切线方程为，

故答案为：或或.

11．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】

解：双曲线的渐近线为，即，

不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或（舍去）．

故答案为：．

12．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．

【答案】2（满足皆可）

【解析】

【分析】

根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.

【详解】

解：，所以C的渐近线方程为,

结合渐近线的特点，只需，即，

可满足条件“直线与C无公共点”

所以，

又因为，所以，

故答案为：2（满足皆可）

13．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．

【答案】

【解析】

【分析】

设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】

解：∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

14．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

【答案】或或或；

【解析】

【分析】

设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】

解：依题意设圆的方程为，

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或；

四、解答题

15．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.

(1)

右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．

∴C的方程为：；

(2)

由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；

总之，直线的斜率存在且不为零.

设直线的斜率为,直线方程为,

则条件①在上，等价于；

两渐近线的方程合并为,

联立消去y并化简整理得：

设,线段中点为,则,

设,

则条件③等价于,

移项并利用平方差公式整理得：

，

,即,

即；

由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,

∴由,

∴,

所以直线的斜率,

直线,即,

代入双曲线的方程,即中，

得：,

解得的横坐标：,

同理：，

∴

∴,

∴条件②等价于，

综上所述：

条件①在上，等价于；

条件②等价于；

条件③等价于；

选①②推③:

由①②解得：,∴③成立；

选①③推②：

由①③解得：，，

∴，∴②成立；

选②③推①：

由②③解得：，，∴，

∴，∴①成立.

16．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；

（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．

(1)

因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线

易知直线l的斜率存在，设，，

联立可得，，

所以，，．

所以由可得，，

即，

即，

所以，

化简得，，即，

所以或，

当时，直线过点，与题意不符，舍去，

故．

(2)

不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，

因为，所以，即，

即，解得，

于是，直线，直线，

联立可得，，

因为方程有一个根为，所以，，

同理可得，，．

所以，，

点到直线的距离，

故的面积为．

17．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的定义可得，即可得解；

（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.

(1)

抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，

所以抛物线C的方程为；

(2)

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，

所以，

若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.

18．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

(1)

解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

(2)

，所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】

求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.