2021-2022学年广西河池市八校高二下学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西河池市八校高二下学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．观察下列各式：

，…，

照此规律，则的值为

A．123 B．132 C．76 D．28

【答案】A

【详解】通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数之和,因此故选A.

2．若复数，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】由题得，

故选：C.

3．关于下面演绎推理：大前提：幂函数的图象恒过点.小前提：是幂函数.结论：的图象过点.下列表述正确的是（       ）

A．因大前提错误导致结论错误 B．因小前提错误导致结论错误

C．因推理形式错误导致结论错误 D．此推理结论正确

【答案】B

【分析】判断大前提和小前提的正误后可得．

【详解】是指数函数，而非幂函数，所以是因小前提错误导致结论错误.

故选：B．

4．已知（是实数），其中是虚数单位，则

A．-2 B．-1 C．1 D．3

【答案】A

【详解】解析：由题设可得，则，故，应选答案A．

5．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是     

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【详解】 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；

若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.

6．对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据散点图可得正负相关关系，并根据散点图的集中程度确定大小关系.

【详解】由散点图可知：图和图是正相关，相关系数大于；图和图是负相关，相关系数小于；

图中的点比图中的点更加集中，；图中的点比图中的点更加集中，；

.

故选：A.

7．下列命题中，真命题是（       ）

A．复平面上虚数所对应的点在虚轴上

B．若复数，则复数z的虚部为

C．若复数，则

D．“”是“”的充分非必要条件

【答案】C

【分析】根据复数的相关概念及复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断；

【详解】解：复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；复数的虚部是2，因此B错；复数，则，因此C正确；时，有，但时，也有，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错，

故选：C．

8．小芳妈妈出差了，爸爸中午要在公司加班，中午放学回家只能自己煮面条吃，有下面几道工序需完成：①洗锅盛水3分钟；②洗菜7分钟；③准备面条及佐料3分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑥煮面条和菜共3分钟.以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序.小芳要将面条煮好，最少要用（       ）分钟·

A．16 B．15 C．14 D．13

【答案】A

【分析】在烧水的过程中可以做②③两个工序，从而可求出时间

【详解】第一步：①洗锅盛水3分钟；

第二步：④用锅把水烧开10分钟，在烧水的过程中，完成②洗菜7分钟；③准备面条及佐料3分钟；

第三步：⑥煮面条和菜共3分钟，

所以最少要用分钟.

故选：A.

9．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（       ）

A．π B．2π C．3π D．4π

【答案】C

【分析】令且，可得，问题转化为求圆心为，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，即可求区域面积.

【详解】令且，则，

所以，即对应区域是圆心为，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，

所以区域的面积为.

故选：C

10．为了调查中学生近视情况，某校名男生中有名近视，名女生中有名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，用什么方法最有说服力（       ）

A．平均数 B．方差 C．回归分析 D．独立性检验

【答案】D

【分析】这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据已知构建方程计算出表格中男性近视与女性近视的人数，并填入表格的相应位置．根据列联表，及的计算公式，计算出的值，并与临界值中进行比较，不难得到答案．

【详解】分析已知条件，得如下表格．

根据列联表利用公式可得的值，

再与临界值比较，检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，

故利用独立性检验的方法最有说服力．

故选：D．

11．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论.

【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，

.

故选：C.

12．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（       ）

参考公式附：，其中.

参考数据：

A．130 B．190

C．240 D．250

【答案】B

【解析】设男、女生的人数都为，列出列联表，计算的值，查表解不等式即可.

【详解】依题意，设男、女生的人数各为，建立列联表如下所示：

故，由题可知，

∴，只有B符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查独立性检验，关键点是建立列联表代入公式计算，考查数学运算、数学建模的核心素养.

二、填空题

13．若，其中、都是实数，是虚数单位，则________．

【答案】

【解析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出的值.

【详解】，则，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

14．函数（，是虚数单位）的值域可用集合表示为______．

【答案】

【解析】根据复数的运算性质可函数的值域.

【详解】，

故答案为：.

15．给出下列四种说法：

①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；

③回归直线y=bx+a必经过点；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病.

其中错误结论的编号是___________.

【答案】①②④

【分析】利用均值和方差的定义，线性相关性，独立性检验原理和回归直线方程，判断命题的真假性即可.

【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；

对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以②错误；

对于③，回归直线y=bx+a必经过样本中心点，所以③正确；

对于④，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以④错误.

综上，错误的命题序号是①②④.

故答案为：①②④.

16．如图三角形数阵：按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第行的第列，则___________.

1

3     2

4     5     6

10   9     8   7

11   12   13   14   15

【答案】124

【分析】首先说明，再说明，即得解.

【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第3行有3个数字，……

所以第行有个数字，

由此规律可知，到第行结束一共有个数字；

又当时，，所以第63行结束一共有2016个数字；

当时，，所以2021在第64行，故；

由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第64行是偶数行，共64个数字，从大到小排列……2020，2019，2018，2017，所以2021在倒数第5列，所以，

所以.

故答案为：124

三、解答题

17．已知用分析法证明：.

【答案】证明见解析

【解析】由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可.

【详解】证明：要证，

只需证，只需证，即.

因为，且成立，所以.

【点睛】本题考查了分析法，重点考查了运算能力，属基础题.

18．已知关于的方程的两根为、.

（1）若，求的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）将代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数的值；

（2）列出韦达定理，由可得出关于的等式，由此可解得实数的值.

【详解】（1）已知关于的方程的一根为，

所以，，

所以，，解得；

（2），由题意得.

若，即，则，解得；

若，即，由，可得，

解得，，

则，解得.

综上所述，或.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：

（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解；

（2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解.

19．近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：

现根据散点图利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：

且(，)与(，)(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为，，且＝﹣0.9953．

（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；

（2）根据（1）的结果及表中数据，建立关于x的回归方程；

（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为，当x为何值时，z的预报值最大．

参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，＝15.7365，对于一组数据(，)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．

【答案】（1）用模型建立与的回归方程更合适；（2）；（3）当温度为20时这种草药的利润最大．

【分析】（1）利用相关系数，，比较与的大小，得出用模型建立回归方程更合适；

（2）根据（1）的结论求出关于的回归方程即可；

（3）由题意写出利润函数，利用基本不等式求得利润的最大值以及对应的值．

【详解】（1）由题意知，

，

因为，所有用模型建立与的回归方程更合适．

（2）因为，

，

所以关于的回归方程为

（3）由题意知

，所以，当且仅当时等号成立，

所以当温度为20时这种草药的利润最大．

20．已知复数，（其中i为虚数单位）.

（1）当复数是纯虚数时，求实数m的值；

（2）若复数对应的点在直线上，求实数m的值.

【答案】（1）,（2）

【解析】（1）复数z是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组即可求得答案；

（2）依题意，可得，解出即可求得实数m的取值．

【详解】（1）由题意有时，

解①得或，解②得且，

综合可得时，复数为纯虚数.

（2）由题意复数对应的点在直线上，

则有：，

解得：，

所以当时，复数对应的点在上.

【点睛】本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.

21．已知函．

（1）用导数法证明在上为减函数；

（2）用反证法证明方程没有负数根．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）首先求函数的导数，并根据，以及，判断函数导数的正负，即可证明；（2）首先假设命题的否定，假设存在满足，则，利用等号两边函数的值域，推得矛盾.

【详解】（1）由题可知．

，，．

在恒成立，即在上为减函数．

（2）假设存在满足，

则．

由可得，

即，这与假设矛盾，

故方程没有负数根．

【点睛】本题结合导数，考查反证法，本题第一问的关键是正确求得函数的导数，第二问的关键是假设命题的否定后，知道如何推得矛盾.

22．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知.

列联表如下：

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．