2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第一次联考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式求得正确答案.【详解】.故选：B2．已知、是两个不同的平面，直线，下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据判断与的位置关系，可判断AB选项的正误；由与的位置关系判断与的位置关系，可判断CD选项的正误.【详解】若，，则、与相交或，AB选项错误；若，，则或与相交，C选项错误；若，，由面面垂直的判定定理可知，D选项正确.故选：D.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.4．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设，，则x，y的大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法、两角和的余弦公式及余弦函数的性质判断即可；【详解】解：因为，，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，即，所以；故选：A5．已知，则（       ）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，可得，即可得到，再根据诱导公式即可求出.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.6．已知向量，.若不超过5，则k的取值范围是（       ）A．[-2，6] B．[-6，4] C．[-6，2] D．[-4，6]【答案】A【分析】先求得的坐标，再根据不超过5求解.【详解】因为向量，，所以，因为不超过5，所以，解得，所以k的取值范围是 [-2，6]，故选：A7．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则函数在上零点的个数为（       ）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】可以分解因式，求出每个因式在上的零点即可【详解】令，则或当时，因为，所以或或当时，因为，所以或所以有个零点故选：C8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.【详解】由于，所以，由正弦定理得，，，，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B9．已知实数a>0，b>0，，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，，.当且仅当时等号成立.故选：B10．数列满足，，，若，则k=（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】判断数列是等差数列，结合等比数列前项和公式来求得的值.【详解】依题意，数列满足，，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，而，所以.故选：C11．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位：），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影满足，，由点测得点的仰角为，与的差为，由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差约为（       ）（）A．273 B．260 C．410 D．560【答案】D【分析】结合正弦定理、三角恒等变换求得正确答案.【详解】，点测得点的仰角为，所以,在三角形中，由正弦定理得，由于由点测得点的仰角为，所以高度差等于.故选：D12．将长方体削去一部分得到如图所示的多面体，且，，O为EF中点，有以下结论：①A1，O，C三点共线；②平面；③异面直线AF与所成角的余弦值为；④三棱锥的体积为3.其中正确的命题是（       ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】通过在长方体中作辅助线，可证明四边形 为平行四边形，进而说明A1，O，C三点共线，从而判断①；假设平面，则推出，从而出现矛盾，判断②；采用平行线法，求得异面直线AF与所成角的余弦值，判断③；根据等体积法，求得棱锥的体积，判断④，由此可得答案.【详解】如图，作长方体，在棱 上截取 ,连接 ,则 ,则四边形 为平行四边形，故 ,而 ,四边形 为平行四边形，故 ,所以 ,且 ，故四边形 为平行四边形,故连接和 相交，交点为二者的中点，因为O为EF中点，故O为 的中点，即A1，O，C三点共线，①正确；假设平面，而平面，故,而O为的中点，则 ,这与 矛盾，故②错；由①的分析可知，连接AC,则 即为异面直线AF与所成角或其补角，在 中, ，故 ，所以异面直线AF与所成角为，③正确；由于 ,故④错误，故选：A二、填空题13．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表： 甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103 则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是_______.【答案】丁【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时残差平方和越小，即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.【详解】对于已经获取的样本数据，表达式中为确定的数，则残差平方和越小，越大，由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好，故答案为：丁.14．某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为______.(精确到个位) 参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974【答案】34人【分析】利用正态分布的对称性求出数学成绩超过120分的概率，从而可求出答案【详解】解：因为数学成绩ξ服从正态分布（100，100），所以所以,所以这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为，故答案为：3415．观察下列各式：；；；；……若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为__________．【答案】【详解】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an﹣a1=，故an=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为4516．已知函数，则的最大值为________.【答案】【分析】根据题意可得函数的周期为，因此只要求出函数在上的最大值即可，当时，，求导，利用导数求出函数的单调区间，从而得出函数的最大值.【详解】由，则，所以是函数的一个周期，当时，，，设，且，，则当时，；当时，；当时，；所以在，上递增，在上递减，，，因为，且，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：.三、解答题17．已知函数f（x）＝x﹣lnx(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)求函数f（x）的极值.【答案】(1)(2)极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.【详解】(1)解：，则，，即切线的斜率为0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处曲线的切线方程为；(2)当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，函数的极小值为，无极大值.18．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．【答案】（I）（II）【详解】试题分析：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：【解析】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．20．已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围．【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根据题意，，，，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为， ，， ，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即．21．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.(1)求点C到平面的距离；(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法可得；（2）设点F坐标，根据向量法求线面角建立方程求解可得.【详解】(1)如图所示，取中点，连结，，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则：据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的距离.(2)假设存在点，，满足题意，点在线段上，则，即：，，，，，据此可得：，，从而，，，，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或（舍去）.据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即.22．设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，令，则，，令，则对于恒成立，所以在单调递增，因为，，所以在上存在唯一的零点，即，可得：，当时，，则，当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以的最大值为.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.