2021-2022学年四川省成都市实验外国语学校高二下学期第一次阶段性考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省成都市实验外国语学校高二下学期第一次阶段性考试数学（理）试题

一、单选题

1．函数在上的平均变化率为（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据题意直接计算可得.

【详解】在上的平均变化率为.

故选：A.

2．已知向量，，，则、的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出，利用平面向量的数量积可求得，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.

【详解】由已知，所以，，

因为，因此，.

故选：D.

3．已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（       ）

A．众数为7 B．平均数为65 C．中位数为64 D．极差为17

【答案】B

【分析】根据众数、中位数、平均数、极差的概念逐项判断.

【详解】解：

对于选项A：根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，故A错误；

对于选项B：平均数为：，故B正确；

对于选项C：中位数为：，故C错误；

对于选项D：极差为：，故D错误.

故选：B

4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】

作出可行域，如图内部（含边界），作直线，

由得，其中是直线的纵截距，

当直线向下平移时，纵截距减小．值增大，

所以当过点时，取得最大值，

由，得，即，

所以．

故选：D．

5．设等比数列的前项和为，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由已知可求得，再根据等比数列求和公式即可求出.

【详解】设等比数列的公比为，则，

.

故选：C.

6．若函数，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据导数的定义，结合对数函数的导数公式进行求解即可.

【详解】由，

，

故选：B

7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（       ）

A．15米/秒 B．15米/秒

C．20米/秒 D．20米/秒

【答案】A

【分析】根据题意可得，再除以时间即可得解.

【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，

所以，

由A东偏南，B东偏南，

所以，

所以为等腰三角形，所以，

由，所以速度为米/秒，

故选：A

8．设，则在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的单调性研究函数函数的性质，以及一元二次方程根的情况，结合选项逐项分析即可求出结果.

【详解】A选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故A正确；

B选项：设函数的极小值点为，极大值点为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，而，所以，符合，则经过一、二、四象限；故B错误；

C选项：因为函数在上单调递增，而，则恒成立，所以，则，不符合，故C错误；

D选项：设函数的极大值点为，极小值点为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，所以，不符合；故D错误；

故选：A.

9．已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，且平面平面BCD，该三棱锥外接球的表面积为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可将三棱锥D－ABC补为正三棱柱，根据正三棱柱外接球求法即可得结果．

【详解】

如图，根据几何关系，可将三棱锥D－ABC补为正三棱柱ABC－EFD，

则三棱锥的外接球为该正三棱柱的外接球，

设、分别为该正三棱柱上、下底面外接圆圆心，则外接球球心为中点O，

根据正弦定理得等边三角形EFD外接圆半径，

则外接球半径，

则外接球表面积为．

故选：B．

10．若函数有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分段分析函数的性质，再根据函数的零点个数确定参数的取值范围.

【详解】根据题意，时，，此时

时，;时，,

所以在上单调递增，在上单调递减

时，

所以在上无零点

从而时，有2个零点，根据二次函数的性质可得

故选：D.

11．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.

【详解】由题意，可得，

因为，所以，

又，所以，

在△中，，即，

由余弦定理，可得，

整理得，则，即，解得，

因为，所以.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：

（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；

（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.

12．设直线，分别是函数的图象上点，处的切线，与垂直且相交于点P，且，分别与y轴相交于点A，B，则面积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线，的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得点的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用函数的性质求得的面积的取值范围

【详解】设，由图象，不妨设

当时，，当时，，

所以的斜率，的斜率，

因为与垂直，，所以，得，

直线为，为，

令，可求得，

所以，

联立两直线方程可得交点的横坐标为，

所以，

因为函数在上为减函数，且，

所以，

所以，

所以面积的取值范围是，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是设，再由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再求出两直线的交点的横坐标，从而可表示出三角形面积，进而可求得结果，考查计算能力，属于较难题

二、填空题

13．某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：

若回归直线方程为，据此模型预测，若使用年限为10年，估计维修费约为___________万元.

【答案】

【分析】由样本中心点得出后求解

【详解】由题意，，

故，解得，当时，

故答案为：

14．“”是“函数在上单调递增”的___________条件.

【答案】充分不必要

【分析】求出导函数，利用导函数确定函数的单调性，结合充分必要条件的定义判断．

【详解】，定义域是，，

，即时，恒成立，递增，

当时，，时，恒成立，递增，

时，，时，，只有时，因此递增，

因此时，在上是增函数，但在上是增函数时，不能得出，

因此题中应为充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

15．已知定义在R上的可导函数为偶函数，且满足，若当时，，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】构造函数，确定奇偶性，由导数确定单调性，利用奇偶性变形不等式，再由单调性解出不等式．

【详解】设，则，时，是增函数，

又是偶函数，所以，是偶函数，

,

不等式即为，

由是偶函数，得，

又时，递增，所以，．

故答案为：．

16．已知抛物线焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M､N两点，P为抛物线C准线l上一点且，连接PM交y轴于Q点，过Q作于点D，若，则___________.

【答案】

【分析】设出直线的方程，与抛物线联立，得出韦达定理，再利用相似比得出即可求出.

【详解】设，直线的方程为，

联立，可得，

所以①，②，

因为，可得，

由题可得，所以，则，

整理可得③，

联立①②③，解得，，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．已知，其中.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值.

【答案】(1)；

(2)最大值为5，最小值为．

【分析】（1）求出导函数，得，计算出，由点斜式得切线方程并化简；

（2）求导函数，由求得，然后解出的根，列表确定的符号，的单调性与极值，计算出区间端点处函数值，得最值．

【详解】(1),，，

，，

切线方程为，即；

(2)，，，，或，

列表如下，

所以最大值为5，最小值为．

18．2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：

(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由频率分布表将的企业数除以总企业数得到比例，再结合表及平均数的求法求150个企业同期产值增长率的平均数.

（2）应用列举法：写出选出2个企业所有组合及2个企业恰有一家企业同期产值负增长的组合，根据古典概型的概率求法求所求概率.

【详解】(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例为.

这150个企业同期产值增长率的平均数为.

(2)将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a，b，c，d，e，

则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，

事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）共6种，

所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：.

19．如图，多面体ABCEF中，，，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形.

(1)证明：；

(2)若，，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析．

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面后可得线线垂直；

（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】(1)因为，，，平面，所以平面，

又平面，所以；

(2),是中点，则，又，

，平面，所以平面，

，则，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

，，则，，，

，，，．

，，．

设平面的一个法向量是，

则，取，则，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，，，，

，

由图可知二面角的余弦值为．

20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，斜率为的直线l过点F和点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线m交椭圆C于点M、N，且满足(O为坐标原点)，求直线m的方程．

【答案】(1)；

(2)或或.

【分析】(1)由直线斜率求出c，由离心率求出a，由a、b、c关系求出b；

(2)按m斜率是否存在进行讨论.当直线m斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立，求出△OMN的面积，另外也可由求得△OMN的面积，由此得关于k的方程即可求解.

【详解】(1)由题设知，直线的斜率．

椭圆离心率，则．

∴，椭圆的标准方程为．

(2)当直线m的斜率不存在时，m：x＝－2，直线交椭圆于点、.

．

注意到是等腰三角形，则，，

，∴直线满足要求．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

与联立消去整理得：

.

因直线过椭圆的左焦点，

∴直线与椭圆必相交，设交点、，

则，.

点到直线的距离.

，

∴，直线的方程为：或，

即或或.

【点睛】关键点睛：由求出△OMN的面积，利用等面积法可求直线m的斜率.

21．已知函数（a为非零实数）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有两个极值点，，且，求证：.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由导数与单调性的关系求解

（2）先求出，，将原式化简后再构造函数证明不等式

【详解】(1)定义域为，

，

①当即时，，在上单调递增，

②当即时，令，得，

当或时，

当时，

故在和上单调递增，在上单调递减，

③当即时，，

同理得在上单调递减，在上单调递增．

(2)若有两个极值点，，由（1）得，

故可化为，而，

代入得，而，

只需证，

令， ，当时，，

故在上单调递增，当时，，

而，故，

即证．

22．已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程

【答案】(1)；

(2)x=0 或 3x+4y=0.

【分析】（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程；

（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程.

【详解】(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则＝.

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C点坐标为(1，－2)，

半径r＝|AC|＝＝.

故圆C的方程为.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，

由题意得，解得，

∴直线l的方程为，即3x+4y=0.

综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0.