2021-2022学年陕西省西安市庆安高级中学高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省西安市庆安高级中学高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题

一、单选题

1．设复数的共轭复数为.若(为虚数单位)，则的值为(       )

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】将复数z及其共轭复数代入所求式子计算而得.

【详解】.

故选：B

2．用反证法证明命题“若，则且”时的假设为（       ）

A．且 B．或

C．时，时 D．以上都不对

【答案】B

【分析】先判断命题的结论，再写出它的反面，最后给出答案.

【详解】解：命题的结论为“且”，它的反面为：或，

用反证法证明命题“若，则且”时的假设为或.

故选：B.

【点睛】本题考查反证法的假设，是基础题

3．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数定义可知，由导数的几何意义知切线斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得结果.

【详解】，

曲线在点处的切线的斜率，倾斜角为.

故选：C.

4．设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球的半径为R，四面体的体积为V，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

【详解】设四面体的内切球的球心为，

则球心到四个面的距离都是，

所以四面体的体积等于以为顶点，

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

则四面体的体积为

故选：C．

5．函数的定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数和原函数图像的关系及极值点的定义即可求解.

【详解】由图像可知，在内从左向右的单调性依次为增减增减，

根据极值点的定义可知在内只有一个极小值点为.

故选：A.

6．下列式子不正确的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析选项，易知C选项的导函数可得答案.

【详解】对于选项C，，C错误

故选C

【点睛】本题主要考查了初等函数导函数的四则运算，属于基础题.

7．函数的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得导函数，利用，及定义域解不等式即可得出结果.

【详解】

当时，解得，则函数的单调递减区间为.

故选：C.

8．设，则（       ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【解析】分段函数计算定积分，可分段积分，即：．

【详解】解：因为，所以，

，

故选：．

【点睛】本题主要考查了定积分的运算，涉及分段函数的定积分可分段计算再相加，属于基础题．

9．曲线与直线，及轴所围成的图形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先画出函数图象，再由定积分的几何意义即可得到答案.

【详解】由图象可知：曲线与直线，及轴所围成的图形的面积

.

故选：A

【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，数形结合为解题的关键，属于简单题.

10．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（       ）

A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

【答案】A

【分析】构造函数，结合已知条件求得的奇偶性、单调区间，由此解不等式求得正确答案.

【详解】令，

由于分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

所以，

所以是上的奇函数，图象关于原点对称，.

当时，

所以在上递减，故在递减，

所以的解集为.

故选：A

二、填空题

11．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________．

【答案】

【分析】根据数学归纳法的步骤即可解答.

【详解】用数学归纳法证明等式：，

验证时，等式左边=.

故答案为：.

12．定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是__________．

【答案】

【分析】直接利用定义的运算求复数，再求其共轭复数.

【详解】由题得复数z=（1+i）3i+2=3i-3+2=-1+3i,所以它的共轭复数为-1- 3i.

故答案为-1-3i.

【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查新定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和运用新定义解答问题的能力.(2) 复数的共轭复数

13．已知函数，则在上的最大值是__________．

【答案】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．

【详解】由题意可知，，

，．

当时，，

函数在区间上单调递增，则．

故答案为：

14．由曲线y=x2与y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.

【答案】

【分析】利用定积分来求得旋转体的体积.

【详解】联立，得或，

∴曲线y=x2与y=x所围成的图形交于点O（0，0），A（1，0），

∴根据积分公式得曲线y=x2与y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：

.

故答案为：

三、解答题

15．已知复数z满足，z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.

【答案】(1)或

(2)1

【分析】（1）设，根据已知条件列方程求得，由此求得.

（2）求得的坐标，从而求得三角形的面积.

【详解】(1)设，

①，

的虚部为，所以②，

由①②解得或.

所以或.

(2)当时，，，

所以，

，

所以三角形的面积为.

当时，，，

所以，

，所以三角形的面积为.

16．已知函数.

(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；

(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)

【分析】（1）由求得，由此求得的极值.

（2）由，结合判别式来求得的取值范围.

【详解】(1)，

，

所以在区间递增；

在区间递减.

所以的极大值为，极小值为.

(2)依题意在上恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

17．已知数列满足,

(1)计算的值；

(2)由(1)的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）a1＝0，an+1，通过n＝1，2，3，直接计算的值；（2）由（1）的结果猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n＝k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n＝k+1时，等式成立．

【详解】(1)由,当时     

时      

时

(2)，猜想

证明①当时成立

②假设时 成立

那么时有   

即时成立

综合①②可知

【点睛】本题考查数学归纳法，数列的通项，考查归纳猜想，考查推理归纳能力，属于中档题．

18．已知函数.

（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；

（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，得到，求导，再利用极值的定义，由函数的极小值为5求解.

（2）由，得到，，求导，分，讨论求得最大值求解.

【详解】（1）函数的定义域为.

当时，，则，

，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值为，

∴.

（2）当时，，，

则.

①当，即时，，

所以在上单调递增，所以；

②当，即时，设的两根分别为，，

则，，∴，，

所以在区间上，，

所以在上单调递增，所以.

综上，当时，在区间上的最大值为，

∴，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：不等式有解问题的解法：

若在区间D上有最值，则；

；

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.