2021-2022学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二下学期第一次线上调研考试数学试题（解析版）

2021-2022学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二下学期第一次线上调研考试数学试题

一、单选题

1．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的方程，可求得该直线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】因为，则，所以，，

所以，直线的方程为，直线交轴于点，交轴于点，

因此，直线与坐标轴围成的三角形的面积为.

故选：B.

2．的展开式中含项的系数为（       ）

A． B．24 C． D．16

【答案】B

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式中含的项为，系数为.

故选：B

3．有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有

（       ）

A．12种 B．9种 C．8种 D．6种

【答案】C

【分析】根据分步计数原理可求.

【详解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有（种）．

故选：C．

4．若函数在处取得极值，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由题意，，求出的值，检验即可得答案.

【详解】解：因为函数在处取得极值，，

所以，解得，

检验当时，函数在处取得极大值，

所以.

故选：A.

5．五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲､乙二人不相邻，则不同的排法共有（       ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．120种

【答案】C

【分析】利用插空法可求出结果.

【详解】先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有种.

故选：C

6．函数的零点个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】应用导数研究的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案.

【详解】由题设，且定义域为，

所以在上，在上，即在上递减，在上递增，

所以的极小值为，又，，

则在、上各有一个零点，共有2个零点.

故选：B

7．在一次志愿者活动中，某居民小区有3男2女报名，活动方需从中选取3人，则至少有1男1女被选中的概率是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】设事件为“至少有1男1女被选中”，

则某居民小区有3男2女报名，活动方需从中选取3人，则共有种不同的选法，

其中选取的3人中，至少有1男1女被选中，则共有种不同的选法，

故.

故选:.

8．函数的单调递增区间（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，令，解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数，所以，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为，

故选：C.

9．函数的定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数和原函数图像的关系及极值点的定义即可求解.

【详解】由图像可知，在内从左向右的单调性依次为增减增减，

根据极值点的定义可知在内只有一个极小值点为.

故选：A.

10．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（       ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【分析】借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.

【详解】设事件为“第一次取红球”，事件为“第白次取红球”，则，

，故 ．

故选：B

11．已知函数，，则函数的最大值为（       ）

A．0 B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.

【详解】∵，∴当时，单调递增，

当时， 单调递减，

∴.

故选：C.

12．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.

【详解】设，

可得．

因为，所以，所以，

所以在定义域上单调递增，

又因为，即，

又由，

所以，所以，所以不等式的解集为.

故选：C．

二、填空题

13．若，则_____________.

【答案】

【分析】根据导数的定义，将转化为求解.

【详解】因为，

，

，

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查导数的定义，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.

14．四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有______种.

【答案】144

【分析】首先把四个小球分成2、1、1三组，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，即可求解.

【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有种不同的分法，

然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有种.

故答案为：144.

【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中熟记分配问题的处理方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.

15．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.

【答案】

【分析】由于X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，进而结合超几何分布的概率计算公式即可求出结果.

【详解】X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，

所以.

故答案为：.

16．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围 ___________．

【答案】．

【详解】试题分析：由于定义域为（0，+∞），∴k-1>0，∴k>1,∵，

∴,令 得，由题意 ，又k>1，

∴实数k的取值范围为［1，）

【解析】本题考查了导数的运用

点评：函数的零点问题利用导数法往往转化为判断函数的单调性问题，然后求解即可

17．已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据二次函数的性质求出函数的值域，利用导数讨论函数的单调性，进而作出其大致图象，根据图象列出不等式组，解之即可.

【详解】因为函数，

所以，

所以对，函数的值域为；

由，，

得，

当时，，函数单调递减，不符合题意，

所以，令，解得，则，否则不符题意

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故，

作出函数在上的大致图象，如图，

由图象可知，要使对，使得成立，

则，解得，

所以实数a的取值范围为.

故答案为：.

三、双空题

18．随机变量X的概率分布为如图，则___________，___________.

【答案】         

【分析】由离散型随机变量的期望与方差公式求解

【详解】由题意得，得

故

故答案为：，

19．展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中二项式的系数的和为___________；所有项系数的和为___________.（用数字作答）

【答案】     256     1

【分析】根据二项式的系数最大值，分析数据项数，解出，从而二项式的系数和为代入即可，再令，可得二项式的展开式的系数和.

【详解】的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,

根据二项式系数中间项最大，

所以展开式一共有9项，

所以，

展开式的二项式系数和为 ，

所以二项式系数和为，

令 ，得二项式的展开式的系数和为，

故答案为：256；1.

20．某人从甲地到乙地，乘火车､轮船､飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是___________；如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是___________.

【答案】         

【分析】根据题意利用全概率公式，可求得这个人迟到的概率，再根据贝叶斯公式可求得他乘轮船迟到的概率.

【详解】解：设事件表示“乘火车”，事件表示“乘轮船”，事件表示“乘飞机”，事件表示“迟到”，

则，

，，

，

由全概率公式，可得这个人迟到的概率，

如果这个人迟到了，由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率

.

故答案为：；.

四、解答题

21．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间和极值．

【答案】（1）；（2）单调增区间，，单调减区间；极小值为，极大值为．

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，

（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值

【详解】解：（1），所以,

故切线方程为；

（2），

解，得或；解，得；

所以，为函数的单调增区间，

为函数的单调减区间

所以的极小值为，极大值为.

22．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

(1)恰有1人申请A片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数X分布列与期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】(1)根据题意可知对于每个申请人来说，申请A的概率为，不申请A的概率为，

恰好有1人申请A的有，进而求得概率．

（2）由题意知变量X的可能取值是1，2，3，求出对应的概率，写出分布列，即可求出随机变量的期望值．

【详解】(1)对于每个申请人来说，申请A的概率为，不申请A的概率为，

恰好有1人申请A的情况有，

所以恰好有1人申请A的概率为；

(2)试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有种结果.

由题意知X的可能取值是1，2，3，

P（X=1）=，

P（X=2）=，

P（X=3）=

∴X的分布列是：

∴E(X)=.

23．1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金50元；若只有1个红球，则可获得20元购物券；若没有红球，则不获奖.

(1)若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金或购物券的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得现金为X元，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)；

(2)分布列答案见解析，数学期望：.

【分析】（1）通过对立事件的概率公式即可求得答案；

（2）X的所有可能取值为150，100，50，0，进而通过二项分布求概率的方法求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望.

【详解】(1)根据题意，取出的小球没有白球，即获得现金或购物券的概率为.

(2)X的所有可能取值为150，100，50，0，

一次抽奖抽到两次均为红球的概率为，其他情况概率为，

∴，，

，.

∴X的分布列如下：

∴X的数学期望为：.

24．已知函数，.

(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值；

(2)当在有解，求实数k的取值范围；

(3)当函数有两个极值点，，且时，是否存在实数m，总有成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)最大值为，最小值为；

(2)；

(3).

【分析】（1）求得，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；

（2）分离参数并构造函数，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；

（3）根据是的极值点，求得的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.

【详解】(1)当时，，，令，解得，

当时，单调递减，当时，单调递增；

又，且，

故在上的最大值为，最小值为.

(2)令，因为，则，故，

令，则，

故当，单调递减，当，单调递增，

又，且，

故的值域为，则要满足题意，只需.

即的取值范围为：.

(3)因为，，

因为有两个极值点，故可得，

也即，且.

因为，，故，

则，即，

因为，故上式等价于，即，

又当时，，当时，，

令，则，

当时，，故在单调递增，又，

故当时，，当时，，故不满足题意；

当时，令，

若方程对应的时，即时，，单调递减，

又，故当时，，当时，，满足题意；

若，即时，又的对称轴，且开口向下，

又，不妨取，

故当，，单调递增，又，

故此时，不满足题意，舍去；

综上所述：的取值范围为.

【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理以及多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题.