2021-2022学年重庆市清华中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市清华中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】将函数写成分数指数幂的形式，利用求导公式，求得，代入即可求值.

【详解】，

，则.

故选：D.

【点睛】本题考查了根式化分数指数幂，常见函数的求导公式，导数值的计算，属于基础题.

2．若函数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出的导函数，得出其单调递增区间，利用单调性比较大小可得答案.

【详解】，由，解得

所以函数在上单调递增.

所以，故选项A不正确.

,故选项B,D 不正确，选项C正确.

故选：C

3．已知,则

A． B． C．或3 D．

【答案】C

【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算．

【详解】

当时成立；

当时也成立；

故选C.

【点睛】本题考查组合数公式及排列数公式的计算问题，属于基础题．

4．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若函数在内单调递减，即当时，，,如图所示，

函数是一个开口向上的二次函

数，设其两个零点分别为，0）、（，0），其中 ,

则有 且 ，易见有， 既有 解得，故选A．

5．对图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，

现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（　　）A．12种 B．18种              C．20              D．22种

【答案】B

【详解】若 相同，先染A 处，有 种方法，在染 处 种方法，第三步染有 种方法，共有 种,

若 不同，先染A处，有 种方法，再染 处 种方法，第三步有 种方法，第四步染 种方法，共有 种，

根据分类计数原理可得共有 种，

故选B .

6．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是(　　 )

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】构造函数：得函数g（x）为减函数，又所以

点睛：可先观察备选答案中含有，又，故想到构造函数，分析单调性即可得出结论.此题可作为重点积累

7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于

A． B． C．或 D．

【答案】D

【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.

【详解】因为导函数，

所以导函数的图像是开口向上的抛物线，

所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，

又，即，所以，

所以.

 故选D.

【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.

8．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将条件转化为可知，原问题等价于函数在区间上单调递增，然后根据导数恒大于等于0，转化为导函数最小值问题，然后可得.

【详解】，所以函数在区间上单调递增.所以当时，恒成立，即恒成立，记，则，当，即时，易知，所以在区间上单调递增，所以，则有，满足题意；当，即时，令，得，时，时，所以当时，有最小值，解，得.综上，k的取值范围为.

故选：B

二、多选题

9．下列等式中，成立的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择.

【详解】，A错；

根据组合数性质知正确；

，D正确．

故选：BCD．

【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属综合基础题.

10．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（       ）

A．甲不站两端，共有种排法

B．甲、乙必须相邻，共有种排法

C．甲、乙不相邻，共有种排法

D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法

【答案】AD

【分析】A选项通过特殊元素法判断；B选项利用捆绑法判断；C选项利用插空法判断；D选项用总情况减去不满足的情况即可.

【详解】A选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；

B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错误；

C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错误；

D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，

共有种排法，正确.

故选：AD.

11．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（       ）

A．是函数的极值点

B．是函数的最小值点

C．在区间上单调递增

D．在处切线的斜率小于零

【答案】AC

【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.

【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，

∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；

则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；

∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；

∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；

故选：AC

12．设函数，，下列命题正确的是（       ）

A．若函数有两个零点，则，

B．若恒成立，则

C．若，，时，总有恒成立等价于

D．，恒成立．

【答案】AC

【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB；构造函数，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取，然后使用放缩法可判断D.

【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，则，故A正确，B错误；

若，，时，总有恒成立等价于函数在上单调递增，等价于在区间上恒成立，令，则，当时，，所以当时，成立，当，时，，此时，不满足题意，故C正确；

记，则，因为，，所以，故在区间上存在使得，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13．由数字，，，，组成无重复数字且比大的数有________个.

【答案】24

【分析】分3位数和4位数两种情况讨论，考虑特殊位置先排可得.

【详解】比300大的3位数：百位只能取3，十位和个位的取法有种，所以比300大的3位数共有6个；

比300大的4位数：从1、2、3三个数中取一个放在千位共3种取法，百位、十位和个位的取法有种，故比300大的4位数共有个.

综上，比大的数有个.

故答案为：24

14．设是函数的导函数，若，则________.

【答案】2

【解析】由题可得,将代入即可

【详解】由题,,

所以当时,,

故答案为：2

【点睛】本题考查导数的运算,考查求导公式的应用,考查导数运算法则的应用

15．如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.

【答案】1

【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.

【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，.

令，则 (舍去)，.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m.

故答案为：1.

16．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.

【答案】

【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为

，结合导数求解即可．

【详解】，其中，则．

由于函数存在单调递增区间，则，使得，

即，，构造函数，则．

，令，得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，

所以，，故答案为．

【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：

（1）函数在区间上单调递增，；

（2）函数在区间上单调递减，；

（3）函数在区间上存在单调递增区间，；

（4）函数在区间上存在单调递减区间，；

（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．

四、解答题

17．三个女生和五个男生排成一排.

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.

【答案】（1）4320；（2）14400

【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解；

（2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解.

【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法

有种不同的排法；

（2）女生必须全分开，利用插空法

有种不同的排法

【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题

18．已知函数在点处取得极值.

(1)求的值；

(2)若有极大值，求在上的最小值．

【答案】(1) ;(2) .

【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．

（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．

【详解】解：因.故

由于在点x=2处取得极值c-16.

故有即化简得解得a=1，b=-12.

（2）由（1）知；

.

令，得，.

当时，，故在上为增函数；

当时，，故在上为减函数；

当时，，故在上为增函数.

由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.

由题设条件知16+c=28，得c=12.

此时，，，因此在上的最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．设函数，其中．

(1)求的单调区间；

(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围．

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）求导，根据定义域和a的范围，讨论导数符号可得单调区间；

（2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.

【详解】(1)函数的定义域为，

由于且，所以，令，解得，

当，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

在上单调递减，在上单调递增．

(2)要使的图像与轴没有公共点，所以只需即可，由（1）知，

解得，即的取值范围为

20．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）

【分析】（1）当时，直接对求导，利用导数研究函数的单调性，解不等式和，即可求出的单调区间；

（2）根据函数在区间上为减函数，利用分离参数法，得出对恒成立，构造函数，根据导数确定在区间上的单调性，从而求出，即可得出实数的取值范围．

【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，

当时，，

，

令，而，则，解得：，

令，而，则，解得：，

的单调增区间为，单调减区间为.

（2）由于，的定义域为，

因为函数在区间上为减函数，

对恒成立，

即对恒成立，

令，则，

可知，当时，，即，

即在区间上，故在区间上单调递增，

则，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】本题考查导数在求函数的单调性和最值中的应用，以及利用构造函数法和分离参数法求参数范围，考查转化思想的运算能力.

21．已知函数.

（1）若的极值为0，求实数a的值；

（2）若对于恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求函数的导函数，再讨论函数的单调性，从而确定函数的极值，然后求参数的值即可；

（2）先将命题转化为对于恒成立，再构造函数，，则原问题转化为，

再结合导数的应用求解即可.

【详解】（1）由题得，

①当时，恒成立，

在上单调递增，没有极值.

②当时，由，得，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

在时取到极小值，

的极值为0，

，

即，

；

（2）由题得对于恒成立，

对于恒成立，

令，原问题转化为，

又，

令，

则在上恒成立，

在上单调递增，

，

在上单调递增，

，

.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属综合性较强的题型.

22．已知函数，.

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；

(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）当时，证明：.

【答案】(1)2

(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）利用切线方程可得，，即可求；

（2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，设，得，通过分类讨论参数，可求a的取值范围；

（ii）证法不唯一，可设，由转化得，要证即证，令，通过构造，，结合即可求证；证法二方法类同于一，可作参考.

【详解】(1)因为，则，

又，所以在点处的切线方程为，即，

又该切线为，则且，所以；

(2)（i）函数定义域为，

因为函数在内有两个不同的极值点，，

即等价于函数在内有两个不同的零点，.

设，由，

当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；

当时，在上，单调递增；

在上，单调递减，

所以，当时，，

函数有两个零点，则必有，

即，解得，

又，

易证，证明如下：

令，，

当时，，单减，当时，单增，

故，故，得证.

，所以在和上各有一个零点，

故有两个零点时，a的范围为；

（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，

由且，得.

因为

令，则，

记，，

由，令，.

又，则，即，

所以在上单调递增，故，即成立.

所以不等式成立.

法2：欲证，由，，则只需证：.

不妨设，则且，

则，

所以

令，则，

记，，

由，即在上单调递增，

故，即成立.

故.

【点睛】本题考查由切线方程求参数，由函数极值点个数求参数范围，函数不等式恒成立的证明，难度较大.对于含参极值点个数判断问题，需对参数进行分类讨论，将问题细化，才能进一步确定参数范围.不等式恒成立证明往往需要将所求问题等价转化，构造新函数，借鉴放缩法进行证明，本题中令，代换成对数函数证明的方法，往往用于处理零点（极值点）不等式问题，需要多多积累，方能游刃有余.