T8联考2022届高三第一次联考数学试题及参考答案

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2022 届高三第一次联考数学试题命题学校:湖南师大附中     命题人:高三数学   备课组     审题人: 朱海棠、谢美丽试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟注意事项:1         答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2        回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。3        考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.1.“ ” 是 “ ” 的A. 充分不必要条件       B. 必要不充分条件C. 充要条件                   D. 既不充分也不必要条件2.已知 , 则复数 在复平面内对应的点位于A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限     D. 第四象限3.设 为非零向量, , 则下列命题为真命题的是A. 若 , 则 B. 若 , 则 C. 若 , 则 D. 若 , 则 4.已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称, 为奇函数, 且当 时, , 则 A.          B.          C. 5           D. 65.如图,抛物线 的焦点为 , 直线 与 相交于 两点, 与 轴相交于 点. 已知 , 记 的面积为 的面积为 , 则A.       B.             C.           D. 6.已知 , 则 的值为A.           B.              C.                    D. 7.如图,已知四棱柱 的底面为平行四边形, 分 别为棱 的中点, 则A. 直线 与平面 平行, 直线 与平面 相交B. 直线 与平面 相交, 直线 与平面 平行C. 直线 都与平面 平行D. 直线 都与平面 相交8.设 都为正数, 为自然对数的底数, 若 , 则A.       B.              C.                 D. 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知函数 的部分图象如图 所示，则A. 的最小正周期为 B. 为偶函数C. 在区间 内的最小值为 1D. 的图象关于直线 对称10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛 (独唱、独奏、独舞), 由于疫 情防控原因, 比赛现场只有 9 名教师评委给每位参赛选手评分, 全校 4000 名学生通过在线直播观看并网络评分, 比赛评分采取 10 分制. 某选手比赛后,现场 9 名教师原始评分中去掉一个最高 分和一个最低分, 得到 7 个有效评分如下表. 对学生网络评分按 分成三组, 其频率分布直方图如图所示.教师评委有效评分 则下列说法正确的是A. 现场教师评委 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数相同B. 估计全校有 1200 名学生的网络评分在区间 内C. 在去掉最高分和最低分之前, 9 名教师评委原始评分的极差一定大于 D. 从学生观众中随机抽取 10 人, 用频率估计概率, 表示评分不小于 9 分的人数, 则 11.设双曲线 的左、右焦点分别为 , 点 在 的右支上, 且不与 的顶点重合, 则下列命题中正确的是A. 若 , 则 的两条渐近线的方程是 B. 若点 的坐标为 , 则 的离心率大于 3C. 若 , 则 的面积等于 D. 若 为等轴双曲线, 且 , 则 12. 在矩形 中, , 沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 , 若 , 则A. 四面体 外接球的表面积为 B. 点 与点 之间的距离为 C. 四面体 的体积为 D. 异面直线 与 所成的角为 三、          填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.设函数 的图象在点 处的切线为 , 则直线 在 轴上的截距为_______14.已知 的展开式中第 3 项为常数项, 则这个展开式中各项系数的绝对值之和为 ________ (用数字作答)15.数列 , 称为斐波那契数列 (Fibonacci sequence), 该数列是由 十三世纪意大利数学家莱昂纳多・斐波那契 (Leonardo Fibonacci) 以兔子繁殖为例子而引人, 故又称为 “兔子数列”. 在数学上, 斐波那契数列可表述为 ， ). 设该数列的前 项和为 , 记 , 则 _________(用 表示)16.在平面直角坐标系中, 若正方形的四条边所在的直线分别经过点 , , 则这个正方形的面积可能为 _________或___________ (每条横线上只填写一个可能结果)四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知函数 .(1) 设 , 求函数 的单调递减区间;(2)设 的内角 所对的边分别为 为 边的中点, 若 , 求线段 的长的取值范围。18.（本小题满分 12 分）设等差数列 的前 项和为 , 已知 .(1) 求数列 的通项公式;(2) 设 , 数列 的前 项和为 . 定义 为不超过 的最大整数, 例如 . 当 时,求 的值.19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱雉 的底面是正方形,平面 平面 为 的中点.(1) 若 , 证明: ;(2) 求直线 与平面 所成角的余弦值的取值范围.20. (本小题满分 12 分)设椭圆 , 圆 , 点 分别为 的左、右焦点, 点 为圆心, 为原点, 线段 的垂直平分线为 . 已知 的离心率为 , 点 关于直线 的对称点都在圆 上.(1) 求椭圆 的方程;(2) 设直线 与粗圆 相交于 两点, 问: 是否存在实数 , 使直线 与 的斜率之和 为 ? 若存在, 求实数 的值; 若不存在, 说明理由.21. (本小题满分 12 分)元旦将至,学校文学社拟举办“品诗词雅韵, 看俊采星驰”的古诗词挑战赛. 初赛阶段有个人 晋级赛和团体对决赛. 个人晋级赛为 “信息连线” 题, 每位参赛者只有一次挑战机会. 比赛规 则为: 电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景 (如诗词题名、诗词作者 等), 要求参赛者将它们一一配对,有三对或三对以上配对正确即可晋级. 团体对决赛为 “诗 词问答”题, 为了比赛的广泛性, 要求以班级为单位, 各班级团队的参赛人数不少于 30 人, 且 参赛人数为偶数. 为了避免答题先后的干扰, 当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后, 电 脑会依次显示各人的答题是否正确, 并按比赛规则裁定该班级才队是否挑战成功. 参赛方式 有如下两种,各班可自主选择其中之一参赛。方式一: 将班级团队选派的 个人平均分成 组, 每组 2 人. 电脑随机分配给同一组两个人 一道相同试题,两人同时独立答题, 若这两人中至少有一人回答正确, 则该小组间关成功. 若 这 个小组都鸠关成功, 则该班级团队挑战成功.方式二: 将班级团队选派的 个人平均分成 2 组, 每组 人. 电脑随机分配给同一组 个人 一道相同试题, 各人同时独立答题, 若这 个人都回答正确, 则该小组间关成功. 若这 2 个小 组至少有一个小组间关成功, 则该班级团队挑战成功.(1)甲同学参加个人晋级赛, 他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对, 其余四组 都只能随机配对,求甲同学能晋级的概率;(2) 在团体对决赛中, 假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 , 为使本班团队挑战成功的可能性更大, 应选择哪种参赛方式? 说明你的理由.22.(本小题满分 12 分)已知函数 , 其中 为非零常数.(1) 若函数 在 上单调递增, 求 的取值范围;(2)设 , 且 , 证明: 当 时, 函数 在 上恰 有两个极值点.