2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义求复数对应的点.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D2．有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果.【详解】因为，所以，则，所以机器人在时刻时的瞬时速度为，故选D.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.3．已知复数，i为虚数单位，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，即可求出.【详解】因为，所以,所以.故选：D4．下列运算正确的个数为（       ）① ，②，③，④.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】运用导数的求导公式对各运算检验即可．【详解】解：①（x2cosx）'＝2xcosx﹣x2sinx；②（3x）'＝3xln3；③应该为④．应该为；个正确的个数为0；故选：A．5．指数函数是R上的增函数，是指数函数，所以是R上的增函数．以上推理（       ）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．正确【答案】B【分析】根据底数函数的定义即可判断小前提为错误.【详解】本题是演绎推理中三段论的具体应用.此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.6．已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（       ）A．30° B．45°C．135° D．165°【答案】B【分析】利用导数求得切线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】，，所以在点处切线的斜率为，故切线的倾斜角为45°.故选：B7．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.8．图中抛物线与直线所围成的阴影部分的面积是（       ）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】联立方程组可得交点的坐标，结合定积分的意义即可.【详解】由题意知，由，可得或，所以.故选：B9．函数有小于1的极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：因为，所以函数定义域为{x|x>0},由得，a0,，又函数有小于1的极值点，所以，故选B．【解析】本题主要考查导数的计算，利用导数求函数极值．点评：易错题，本题涉及到对数函数，因此要注意函数的定义域．据此得出．10．已知函数，则的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用导数分析函数的单调性以及函数值符号，由此可得出函数的图象.【详解】对于函数，该函数的定义域为，求导得.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，即对任意的，.所以，函数的定义域为，且，函数的单调递增区间为，递减区间为.所以，函数的图象如A选项中函数的图象.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】设，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，由方程可化为，解得或，画出函数的图象，如图所示，要使得关于的方程有5个不同的实数根，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.12．已知定义在R上的可导函数，当时，恒成立，若，，，则，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【详解】令，当时，，函数单调递增.，，，则，即.故选：A.二、填空题13．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．【答案】m≤1【详解】，使为真命题则解得则实数的取值范围为14．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.【答案】【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．【解析】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为__________【答案】【分析】根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得x2+y2＝4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣22+3，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设P（x，y），若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得：x2+y2＝4，即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，曲线Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，则有3﹣22+3，即1|a|≤5，解可得：a或a，即a的取值范围为：[，]∪[，]；故答案为[，]∪[，]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________【答案】【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， .所以， .【解析】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.三、解答题17．已知函数f（x）＝x﹣lnx(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)求函数f（x）的极值.【答案】(1)(2)极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.【详解】(1)解：，则，，即切线的斜率为0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处曲线的切线方程为；(2)当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，函数的极小值为，无极大值.18．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．【答案】（I）（II）【详解】试题分析：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：【解析】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．20．已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围．【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，，，代入，，可得，解之可得，，故有；（2）根据题意，，，，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为， ，， ，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即．21．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.(1)求点C到平面的距离；(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法可得；（2）设点F坐标，根据向量法求线面角建立方程求解可得.【详解】(1)如图所示，取中点，连结，，因为三角形是等腰直角三角形，所以，因为面面，面面面，所以平面，又因为，所以四边形是矩形，可得，则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则：据此可得，设平面的一个法向量为，则，令可得，从而，又，故求点到平面的距离.(2)假设存在点，，满足题意，点在线段上，则，即：，，，，，据此可得：，，从而，，，，设与平面所成角所成的角为，则，整理可得：，解得：或（舍去）.据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即.22．设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；当时，由可得；由可得；此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，函数的单调递增区间为，当时，单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）若，由可得，因为，所以，所以所以对于恒成立，令，则，，令，则对于恒成立，所以在单调递增，因为，，所以在上存在唯一的零点，即，可得：，当时，，则，当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以的最大值为.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.