2021-2022学年云南省昭通市永善、绥江县高二3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年云南省昭通市永善、绥江县高二3月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省昭通市永善、绥江县高二3月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式直接求解，然后由集合的运算可得.【详解】因为，，所以.故选：C2．复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.【详解】由，得，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选:D．3．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（       ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】可设，且，根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，非零向量，满足，可设，且 因为，可得，解得，则，又因为，所以，所以与的夹角为.故选：A.4．函数在上的图象大致是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值可判断【详解】因为所以函数为奇函数，故排除选项C，D；因为在上，，所以排除选项B．故选：A．5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有 ，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：D.6．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减， ，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C．7．甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下： 购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩甲0.20.4乙0.30.3 则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（       ）A．0.44 B．0.40 C．0.36              D．0.32【答案】D【分析】先求出甲购买A种医用口罩和乙购买B种医用口罩的概率，然后利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【详解】由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为.故选：D.8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为(       )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角可得，结合和余弦定理可得cosA和，根据三角形面积公式可得面积.【详解】∵，结合正弦定理可得，可得，∵，结合余弦定理，可得，∴A为锐角，且，从而求得，∴的面积为．故选：C.二、多选题9．已知曲线，则（       ）A．若，，则曲线C表示椭圆B．若，则曲线C表示双曲线C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率【答案】BC【分析】利用曲线的方程逐项分析即得.【详解】对于A，若，，当时，则曲线C表示圆，故A错误；对于B，若，当时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，所以若，则曲线C表示双曲线，故B正确；对于C，若，，则，，所以曲线C表示双曲线，方程为，令，得，即，故其渐近线方程为，故C正确；对于D，若，，则曲线C方程为，即，因为，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误.故选：BC.10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（       ）A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.故选：BC11．如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（       ）A．B．平面C．点在上运动时，三棱锥的体积为定值D．点在上运动时，始终与平面平行【答案】ACD【分析】依题意可得，，即可得到平面，即可判断A；根据正四棱柱的性质可得不一定成立，即可判断B，易知平面，即可判断C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得证；【详解】解：对于选项A，由条件得，，，平面，所以平面．又因为平面，所以，故选项A正确；对于选项B，由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故选项B错误；对于选项C，易知平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确；对于选项D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，点在上运动时，平面，所以平面，故选项D正确．故选：ACD．12．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（       ）A． B．Sigmoid函数是单调减函数C．函数的最大值是 D．【答案】ACD【分析】求出给定函数的导数，再逐项分析、计算并判断作答.【详解】由函数求导得：，对于A，，A正确；对于B，，，则Sigmoid函数是单调增函数，B不正确；对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确；对于D，因，则，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.三、填空题13．已知，则的最小值为__________.【答案】3【分析】将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值.【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：3.14．已知，则______.【答案】【分析】利用同角三角函数的关系，将原式变形为，然后代值求解即可【详解】因为，所以，故答案为：15．已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为____________．【答案】【分析】取的中点，连接、，根据面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，首先求出外接圆的圆心，即可设球心为，则，即可得到方程，求出，从而得到外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得；【详解】解：取的中点，连接、，因为，为等边三角形，所以，，又侧面底面，侧面底面，所以底面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，则外接圆的圆心为，设球心为，则，所以，解得，所以，所以外接球的表面积；故答案为：16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．【答案】【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即为，由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.故答案为：．四、解答题17．从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65   分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08；（2）102；（3）．【解析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率分布直方图直接列式即可计算；（3）可得第六组3人，第八组2人，随机抽取2名，列出所有基本事件，再求出分差的绝对值小于10分包含的基本事件，即可求出概率.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：．（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：，（3）样本成绩属于第六组的有人，设为A，B，C，样本成绩属于第八组的有人，设为a，b，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，共10种，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有，，，，共4种，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)cosC=ccosA.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求的值，结合，可求的值；（2）利用余弦定理化角为边可求的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】(1)解：因为，由正弦定理可得，即，因为，故，因为，故；(2)解：因为，，整理可得，可得，又，所以．19．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.(1)证明：平面PAD；(2)若平面PAD，，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PD中点F，连接EF，AF，先证明,从而得证.（2）由平面PAD，可得，取CD中点O，连接PO，BO，证明平面ABCD，，从而以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)取PD中点F，连接EF，AF则且又且所以且 由四边形ABEF是平行四边形，则又平面，平面所以平面PAD(2)因为平面PAD∴又∵，，∴取CD中点O，连接PO，BO∵平面CDP∴，又∵∴平面ABCD又∵，∴以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系则，，，∴，设为平面PAB的一个法向量.则令则显然为平面PAD的一个法向量设为二面角的平面角，则所以所以二面角的正弦值20．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，__________；设数的前n项和为，．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设数列的首项为，公差为d，根据所选条件结合等差数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可求出的通项公式，由，根据，求出的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可.【详解】(1)解：设数列的首项为，公差为d，若选①，得，则，所以数列的通项公式为．选②得，则，所以数列的通项公式为．选③得，则，所以数列的通项公式为．因为，所以当时，，则．当时，，则，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以．(2)解：因为，所以数列的前n项和①，②，①②得∴ ，则．21．已知为坐标原点，椭圆的右顶点为，离心率为.动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，点到的两焦点的距离之和为.(1)求的标准方程；(2)若直线与轴交于点，的面积分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值，定值为1【分析】（1）由椭圆的对称性可得在椭圆上，再由椭圆的定义可得到两个焦点的距离之和为可得的值，再由离心率可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；（2）设的坐标，进而可得的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，求出直线的方程，令可得横坐标的表达式，将两根之和及两根之积代入可得直线恒过定点，求出两个三角形的面积之比，可得为定值.【详解】(1)解：因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，点关于x轴的对称点为也在椭圆上，再由点到的两焦点的距离之和为可得，即，又椭圆的离心率，所以，可得，所以椭圆的方程为：；(2)解：为定值，且定值为1，证明如下：设 ，则，联立，整理可得：，则，直线的方程为：，令，可得；所以当变化时直线与轴交于定点，所以，即为定值，且定值为.22．设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；（2）对分类讨论，求出的单调区间.【详解】(1)由于切点在切线上，所以，函数通过点又，根据导数几何意义，；(2)由可知当时，则；当时，则；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，单调递增区间为，单调递减区间为.