2021-2022学年云南省宣威市第三中学高二4月考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年云南省宣威市第三中学高二4月考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省宣威市第三中学高二4月考试数学试题一、单选题1．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（       ）A．{x|0≤x<1} B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|0<x<1}【答案】B【分析】由集合并集的定义可得选项.【详解】解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.2．在复平面内，复数z满足，则(       )A．1 B．i C． D．【答案】D【分析】根据复数的运算方法计算即可.【详解】.故选：D.3． 是等差数列 的前n项和，如果 ，那么 的值是 A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】由等差数列的性质：若m+n=p+q,则 即可得.【详解】 故选B【点睛】本题考查等比数列前n项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化.4．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，见模平方，可求出的值，代入向量求夹角公式即可的结果.【详解】由题意可知：，解得：..故选：D.【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，考查计算化简的能力，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积，属基础题.5．已知，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断出、、，再判断出即可解题.【详解】解：因为，所以；因为，所以；因为，所以所以故选：B.【点睛】本题考查比较对数、指数、幂的大小问题，是基础题.6．双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据离心率以及双曲线的性质得出该双曲线的标准方程.【详解】由题意可得，因为双曲线过点，所以，即，解得，故该双曲线的标准方程为.故选：B7．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出. 解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D．【解析】古典概型点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题．8．函数y=x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）【答案】B【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域9．六个人站成一排照相，其中甲乙要相邻的站法种数有（       ）A．720 B．120 C．240 D．360【答案】C【分析】相邻问题，由捆绑法求解【详解】将甲乙捆绑视为整体，共有种故选：C10．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．二、多选题11．已知函数，则（       ）A．函数是偶函数B．是函数的一个零点C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到【答案】BCD【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；利用三角函数图象变换可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，令，则，，故函数不是偶函数，A错；对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，因为，所以，函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，D对.故选：BCD.12．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（       ）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为【答案】ABD【解析】对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.【详解】解：由题图知可，当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增，对A，，故A错误；对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；对C，函数的极值点为，，故C正确；对D，函数的极大值为，故D错误.故选：ABD.三、填空题13．在的展开式中，常数项为__________．【答案】【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.【详解】的展开式的通项 令，解得，故常数项为．故答案为：.14．已知x>1，那么的最小值为________.【答案】3【分析】根据给定条件，利用配凑的思想结合均值不等式求解作答.【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为3.故答案为：315．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么＝__________.【答案】12【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答.【详解】抛物线的准线为：，设抛物线的焦点为F，由抛物线定义得：，所以.故答案为：16．已知半径为的球中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是__________.【答案】【分析】由题意列方程求出正三棱柱的边长，然后求体积．【详解】设正三棱柱的边长为，则底面外接圆的半径为，则其外接球的半径，解得，故正三棱柱体积．故答案为：四、解答题17．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意列方程求公差，然后求通项公式（2）由分组求和法求解【详解】(1)设数列的公差为，则，．由，，成等比数列得，即，又因为，解得或（舍去），所以．(2)由（1）得，所以，所以．18．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求，的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得的大小.（2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，由此求得.【详解】（1）依题意：，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以（2）由余弦定理和三角形的面积公式得：，即,解得或.19．某城市户居民的月平均用电量（单位：千瓦时）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，的三组用户中用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.【答案】（1）；（2）众数是，中位数是；（3）.【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于列方程即可求解；（2）由最高小矩形底边中点的横坐标可得众数，根据中位数的左右两边小矩形的面积之和等于可得中位数；（3）根据分层抽样可得三组的人数分别为3户､2户和1户，求出基本事件的总数以及参加节目的2户来自不同组包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】（1）由得，所以直方图中的值是0.0075.（2）月平均用电量的众数是.因为，且，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，解得，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为的用户有（户），月平均用电量为的用户有（户），月平均用电量在的用户有（户）.抽样方法为分层抽样，在，，中的用户比为，所以在，，中分别抽取3户､2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件，将来自的用户记为，，，来自的用户记为，，来自的用户记为，在6户中随机抽取2户有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，其中满足条件的有，，，，，，，，，，共11种故参加节目的2户来自不同组的概率.20．在平面直角坐标系中，已知点，，设直线，的斜率分别为，，且，记点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若直线：与相交于，两点，求．【答案】（1），（）；（2）.【分析】（1）先设点，再建立方程，最后得到的方程：，（）；（2）先联立方程得到，再得到，最后求即可.【详解】解：（1）设点，则，，因为，则，整理得：，斜率存在，所以，所以的方程：，（）（2）设，，由，消去得到，则，所以，则，所以.【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.22．已知函数=，为常数.(1)若函数的图像在点处的切线方程为，求的单调区间；(2)若函数在区间上是增函数，求的取值范围；【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是；(2).【分析】（1）利用导数的几何意义求出k，再求解导函数值大于0或小于0的x取值区间作答.（2）求出的导数，利用给定条件建立不等式，分离参数并构造函数，探讨函数值范围即可作答.【详解】(1)函数的定义域为，，因为函数的图像在点处的切线方程为，则有，解得，从而有，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)因函数在区间上是增函数，则对恒成立．即对恒成立，令，而即函数在上单调递增，，，于是得，所以的取值范围是.