2021-2022学年广东省十五校联盟高二下学期第一次（3月）联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省十五校联盟高二下学期第一次（3月）联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省十五校联盟高二下学期第一次（3月）联考数学试题一、单选题1．等差数列中，，则数列的公差为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由可知，结合可求出【详解】， 即故选：B【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.2．已知等比数列中，则A．31 B．32C．63 D．64【答案】B【详解】试题分析：【解析】等比数列通项公式3．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用导数的运算法则可求得，进而可求得的值.【详解】由题意，得，则，故选：D．4．设等差数列的前项和为，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得的值，再利用等差求和公式可求得的值.【详解】因为，所以，因此．故选：B．5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由，得q3＝－，所以选A.6．已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（　     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.【详解】解：设函数，则，则函数为增函数，又，则，故选：A.【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.7．等差数列中，，设，则数列的前61项和为（       ）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】首先求出数列的通项公式，即可得到，利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为等差数列满足，所以，所以，所以，令数列的前项和为，所以数列的前n项和，所以．故选：C．8．设函数在点处的切线为,则在轴上的截距为A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】求导得到，代入，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程，从而得到其在轴上的截距.【详解】因为函数，所以，代入，得，而，所以在处的切线的方程为：，整理得，令，得所以与轴的截距为.故选：A.【点睛】本题考查根据导数的几何意义求在一点的切线，属于简单题.二、多选题9．记为等差数列的前项和.已知，，则（       ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而求得.【详解】设首项为，公差为，由，得：，解得：，，，.故选：AC.10．曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选：AB【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．11．已知函数，其导函数为，则（       ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得，从而可求得【详解】因为，所以．因为，所以．故．故选：BC【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题12．(多选题)已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（       ）A．2 B．5 C．3 D．4【答案】BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、填空题13．若，则________.【答案】6.【解析】根据导数的极限定义即可求解【详解】.故答案为：6【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.14．已知1，，，，4成等比数列，则______.【答案】2【分析】因为1，，，，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得 ，再利用 ，确定取值.【详解】因为1，，，，4成等比数列，所以 ，所以 或，又因为 ，所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.四、双空题15．如图是函数的图象. （1）函数在区间上的平均变化率为______；（2）函数在区间上的平均变化率为______.【答案】          【分析】利用平均变化率的定义可计算出函数在区间和上的平均变化率.【详解】（1）函数在区间上的平均变化率为；（2）由函数的图象知，，所以函数在区间上的平均变化率为.【点睛】本题考查平均变化率的计算，解题的关键就是利用平均变化率定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.16．在数列中，，，数列满足，则数列的通项公式为______，数列的前n项和的最小值为______．【答案】          【分析】先根据题目中给出的递推关系式得到数列是等差数列，进而得到的通项公式；再根据，即可得到的最小值．【详解】由题意知，，∴，即．又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，即，∴．又，∴的最小值为．故答案为：(1).        (2). 【点睛】本题主要考查由递推关系式求通项公式的方法，考查等差数列前项和的最值的求法，考查学生逻辑推理与运算求解能力．五、解答题17．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】答案见解析.【解析】直接利用导数公式和导数运算法则求解.【详解】（1）．（2）．（3）．（4）∵，∴．18．数列满足，．(1)证明数列为等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得，利用分组求和法可求得.【详解】(1)证明：因为，所以，又因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列．(2)解：由（1）知，所以，所以.19．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时,∴ ∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.20．已知函数，是的导函数，且，求过曲线上一点的切线方程．【答案】或．【解析】利用导数运算可求得点坐标，分别在是切点和不是切点两种情况下，利用导数的几何意义求得结果.【详解】，，即，在曲线上，，即，①若是切点，，曲线在处的切线斜率，所求切线方程为：，即；②若不是切点，可设切点坐标为，切线斜率，解得：，，所求切线方程为：，即；综上所述：过曲线上一点的切线方程为或.【点睛】方法点睛：本题考查“在”与“过”某一点的曲线切线方程的求解，方法如下：（1）“在”：该点必为切点，则切线方程为；（2）“过”：分为该点是切点和不是切点两种情况，若是切点，则与“在”某一点的切线方程的求法相同；若不是切点，求法如下：①假设切点坐标；②利用切线斜率，构造方程，可求得切线斜率；③根据直线点斜式求得切线方程：.21．等差数列的前项和为．已知，为整数，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，可得出关于的不等式组，解出的取值范围，结合可求得的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）求得，结合等差数列的求和公式可求得的值.【详解】(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，可得，即，解得，因为，则，，因此，.此时，故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.(2)解：由（1）知，所以，因此，.22．数列满足．(1)求；(2)求数列的前n项和；(3)数列的前n项和为，且，证明：对任意的．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解；（2）利用错位相减法求和即可；（3）由（2）可得，再利用作差法证明的单调性，即可证明；【详解】(1)解：因为，当时，，当时，，两式相减得，所以，又符合上式，所以．(2)解：，所以，所以，即，所以．(3)证明：由（2）知，因为所以当时，；所以当时，，所以．