2022北京市朝阳区数学年七年级下学期期中数学试题（有答案）

北京市朝阳区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题

一、选择题

1. 下列是一元一次方程的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．

【详解】解：A、是一元一次方程，故该选项符合题意；

B、含有两个未知数，故该选项不符合题意；

C、最高次数是2次，故该选项不符合题意；

D、最高次数是2次，故该选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键．

2. 若是关于x、y的方程的一个解，则a的值为（    ）

A. 3 B. -3 C. 1 D. -1

【答案】D

【解析】

【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．

【详解】解：把代入方程得：2-a=3，

移项得：-a=3-2，

解得：a=-1．

故选：D．

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

3. 下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】分别根据等式的性质即可判断．

【详解】A、左边加5，右边减5，等式不成立，不符合题意．
B、等式两边乘的数字不一样，不符合题意．
C、等式两边同时减b，等式依然成立，符合题意．
D、左边加a，右边加b，等式不成立，不符合题意．
故选：C．

【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键．

4. 某机器零件的设计图纸如图所示，在数轴上表示该零件长度（L）合格尺寸，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】L=10±0.2表示的意思是零件的长度与标准值10的差距在0.2或以内都是合格的．

【详解】L=10±0.2表示长度大于10-0.2=9.8，并且小于10+0.2=10.2的范围内的零件都是合格的．
故选：C．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

5. 已知方程组，则的值是（    ）

A 1 B. 2 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】不解方程组求出x-y的值，要仔细观察此方程组的特点，发现式①-式②就求得x-y的值．

【详解】解：

由①-②得：

故选：B

【点睛】本题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

6. 由方程组可得x与y的关系式是（　　）

A. 3x＝7+3m B. 5x﹣2y＝10 C. ﹣3x+6y＝2 D. 3x﹣6y＝2

【答案】D

【解析】

【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．

【详解】解：，

①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，

故选：D．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，本题用的是加减消元法．

7. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ）

A. 1 B. 0 C. -1 D. -2

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式得到x≥m-1，再利用数轴表示不等式的解集为x≥-1，所以m-1=-1，然后解方程即可．

【详解】解：∵关于x的不等式的解集为x≥-1，

∴m-1=-1，

∴m=0．

故选：B．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

8. 如图是某月的月历，用一个方框任意框出4个数a，b，c，d．若2a＋d－b＋c的值为68，那么a的值为（    ）

A. 13 B. 18 C. 20 D. 22

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，找到的关系，再根据2a＋d－b＋c的值为68，求解即可．

【详解】解：由题意可得：，，

∴

解得

故选：B

【点睛】此题考查了整式的加减运算以及一元一次方程的求解，解题的关键是掌握相关基础知识．

二、填空题

9. 如果是关于x的方程的解，那么a ＝________．

【答案】2

【解析】

【分析】将x=4代入原方程即可求出答案．

【详解】解：将x=4代，

，

，

故答案为：2．

【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义．

10. 如果把方程x﹣2y＋3＝0写成用含y的代数式表示x的形式，那么x＝___．

【答案】2y-3

【解析】

【分析】把y看作已知数表示出x即可．

【详解】解：方程x-2y+3=0，

解得：x=2y-3．

故答案为：2y-3．

【点睛】此题考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性质是解本题的关键．

11. 不等式的最小整数解为_______．

【答案】-1

【解析】

【分析】求出解集，确定出最小整数解即可．

【详解】移项得：

∴不等式的最小整数解为-1．

故答案为：-1

【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

12. 若方程组的解为，则______．

【答案】-8

【解析】

【分析】先将x=6，y=b代入原方程组，求出a、b的值，进而求出ab即可．

【详解】解：将x=6，y=b代入原方程组得：

，

解得：，

∴ab=2×（-4）=-8，

故答案为：-8．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握“代入消元法”解方程组是解该题的关键．

13. 关于的二元一次方程组的解满足，则的范围为_____．

【答案】

【解析】

【分析】先解出关于的二元一次方程组的解，然后根据列出不等式并求解即可．

【详解】解：解关于的二元一次方程组得

∵

∴，解得：a＞．

故答案为．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式是解答本题的关键．

14. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______．

【答案】-2＜a≤-1

【解析】

【分析】首先解两个不等式，根据不等式组只有三个整数解，即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围．

【详解】解：，

解①得：x＞2，

解②得：x＜a+7，

∵不等式组只有三个整数解，

∴整数解一定是3，4，5．

根据题意得：5＜a+7≤6，

解得：-2＜a≤-1．

故答案为：-2＜a≤-1．

【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

三、解答题

15. 解方程组：；

【答案】

【解析】

【分析】利用加减消元法求解即可．

【详解】

 ②-①，得，解得．

把代入①，得：．

所以原方程组的解是．

【点睛】本题考查了二元一次方程的计算问题，掌握加减消元法是解题的关键．

16. 解不等式：．

【答案】

【解析】

【分析】先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后化系数为1即可得到答案．

【详解】解：不等式两边同时乘以12得：

去括号得：

移项，合并同类项得：

两边都除以-1得：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

17. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】－2<x≤3，数轴见解析

【解析】

【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分并作图即可．

【详解】解：由得：x≤3，

由得：x>－2，

∴不等式组的解集为：－2<x≤3，

在数轴上表示如下：

【点睛】本题考查了不等式组的解法及解集在数轴上的表示．掌握不等式组的解集取法：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小解不了”是解题关键．

18. 若方程组和方程组有相同的解，求a和b的值．

【答案】，．

【解析】

【分析】先解方程组求出x，y的值，代入方程组，即可解答．

【详解】解：解：∵方程组和方程组有相同的解，

∴，解得，

代入其他两个方程，得，

解得

【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．

19. 列方程（组）解应用问题：

“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．

【答案】“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为元、元

【解析】

【分析】分别设出冰墩墩和雪容融的单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．

【详解】解：设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为、元，

则，

解方程组得：

，

答：“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为元、元．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，读懂题意，列出方程组是解题的关键．

20. 若关于x的方程的解和关于x的方程与的解相同，求字母a的值，并写出方程的解．

【答案】a=-11，方程的解为：x=-8

【解析】

【分析】先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可．

【详解】解：，

解得：x=，

，

去分母，得：，

去括号，得：，

即，

∴x=，

∵两个方程的解相同，

∴=，

解得：a=-11，

方程的解为：x=-8．

【点睛】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．

21. 定义一种新运算“※”，其规则为．例如．再如：．

（1）计算值为_________．

（2）若，求m的值．

（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．

【答案】（1）31    （2）m=-5   

（3）不满足交换律，举例见解析

【解析】

【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求解；

（2）已知等式根据题中的新定义可得关于m的方程，解方程即可；

（3）根据题中新定义知“※”运算不满足交换律，举反例说明即可．

【小问1详解】

解：由题意得：，

故答案为：31．

【小问2详解】

解：∵，

∴，

解得：m=-5．

【小问3详解】

解：“※”运算不满足交换律，举例如下：

，，

即．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的解法，弄清题目中的新定义是解题关键．

22. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容．

写出这道题完整的解题过程．

【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值．

【答案】；5

【解析】

【分析】教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案；

拓展：先把m看作常数，利用加减消元法解关于x、y的方程组，然后把x、y的值代入，解不等式即可确定m的最小整数值．

【详解】教材呈现：解：，

移项得：，

化系数为1得：，

∵关于x方程的解是非负数，

∴，

解得：，

∴k的取值范围．

拓展：解：，

①×3得：④，

②×2得：⑤，

⑤-④得：，

把代入①得：，

解得：，

∴原方程组解为；

∵，

∴，

解得：，

∴m的最小整数值是5．

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式最小整数，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键.

23. 长春市为了更好地保护环境，污水处理厂决定购买最先进的污水处理设备，这种污水处理设备有A型和B型．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．

（1）分别求购买一台A型和B型设备的钱数．

（2）若污水处理厂决定购买污水处理设备10台，购买污水处理设备的总金额不超过105万元，请你为该污水处理厂设计购买方案，并说明理由．

（3）若A型设备每月处理污水220吨，B型设备每月处理污水180吨，按照（2）中的购买方案，直接写出该污水处理厂每月最多能处理污水的吨数．

【答案】（1）购买一台A型和B型设备分别需要12万元和10万元   

（2）有3种购买方案，详见解析   

（3）1880吨

【解析】

【分析】（1）设购买一台A型和B型设备分别需要x万元和y万元，根据题意可得关于x、y二元一次方程组，解之即可得到答案；

（2）设购买A型设备m台，购买B型设备（10－m）台，利用总价=单价×数量，并结合总金额不超过105万元，得到关于m的一元一次不等式，解出m的取值范围，根据m为自然数，可得具体的购买方案；

（3）利用每月处理污水总量=每台设备每月处理污水的数量×购买数量，分别计算各方案处理污水的吨数，比较后即可得答案．

【小问1详解】

解：设购买一台A型和B型设备分别需要x万元和y万元，

由题意得：，

解得：，

答：购买一台A型和B型设备分别需要12万元和10万元．

【小问2详解】

解：设购买A型设备m台，则购买B型设备（10－m）台，

由题意知，12m+10（10－m）≤105，

解得：m≤2.5，

又m为自然数，

∴m=0或m=1或m=2，

即共有3种购买方案，

方案一：购买10台B型设备；

方案二：购买1台A型设备，9台B型设备；

方案三：购买2台A型设备，8台B型设备．

【小问3详解】

解：选择方案一每月可以处理污水：10×180=1800吨；

选择方案二每月可以处理污水：220×1+9×180=1840吨；

选择方案三每月可以处理污水：220×2+8×180=1880吨；

∵1800<1840<1880，

∴每月最多能处理污水1880吨．

【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，解题的关键是：找准数量关系列出二元一次方程组和一元一次不等式．

24. 如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．

（1）AB的长为_______；

（2）当点P与点Q相遇时，求t的值．

（3）当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．

（4）若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．

【答案】（1）14    （2）当t为秒时，点P与点Q相遇；   

（3）当t为1秒或秒时，点P与点Q间的距离为9个单位长度；   

（4）存在某一时刻使得PC+QB=8，此时点P表示数为．

【解析】

【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接求出AB的长；

（2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，点Q表示的数为-2t+12；由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）由PQ=9，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；

（4）当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，PC=|3t-2-1|=|3t-3|，QB=2t，由PC+QB=8，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，再将其代入3t-2中即可求出结论．

【小问1详解】

解：AB=12-(-2)=14，

故答案为：14；

【小问2详解】

解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，点Q表示的数为-2t+12．

依题意得：3t-2=-2t+12，

解得：t=．

答：当t为秒时，点P与点Q相遇；

【小问3详解】

解：依题意得：-2t+12-（3t-2）=9或3t-2-（-2t+12）=9，

解得：t=1或t=．

答：当t为1秒或秒时，点P与点Q间的距离为9个单位长度；

【小问4详解】

解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t-2，PC=|3t-2-1|=|3t-3|，QB=2t．

依题意得：|3t-3|+2t=8，

即3-3t+2t=8或3t-3+2t=8，

解得：t=-5（不合题意，舍去）或t=，

∴3t-2=．
答：存在某一时刻使得PC+QB=8，此时点P表示的数为．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离，找出点B，C表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程．