2022届福建省莆田一中（莆田市）高三毕业班三模数学试题含解析

2022届福建省莆田市高三毕业班三模数学试题

一、单选题

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义即可求解.

【详解】由题意得，，则.

故选：B.

2．若复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算即可得解.

【详解】

故选：C

3．芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（       ）

A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米

【答案】A

【分析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可求出总距离.

【详解】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且

所以乌龟的爬行距离(米).

故选：A

4．已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据分层抽样的抽取比例计算方法，分别求出抽取人数中的男女职工人数即可求解.

【详解】抽取的女职工人数为：人

抽取的男职工人数为：人

则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差为：人

故选：B.

5．“”是“”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用同角的三角函数的平方关系及二倍角公式可得，再除以可得关于的方程，求解即可判断.

【详解】由题，，则，

即，

所以，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：B

6．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及中间值进行比较即可.

【详解】

，，

故选：C.

7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则(       )

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p．

【详解】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴，

将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)，

由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即，

代入抛物线方程消去y得，，

设方程两根为，则，则，

又到BC：的距离为：，

∴由得．

故选：D．

8．已知函数的最小值是4．则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到的二阶导数

【详解】由题，，，所以单调递增，

又，所以，，

故为最小值点，即，解得，

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．展开式中的常数项为

B．展开式中的各项系数之和为1

C．展开式中的系数为40

D．展开式中的二项式系数之和为32

【答案】ACD

【分析】根据多项式的乘法可知A正确，利用赋值法判断B，根据二项展开式通项公式判断C，根据二项式系数和判断D.

【详解】对于选项A，常数项应为，则A正确；

对于选项B，令，得，即展开式中的各项系数之和为-1，则B错误；

对于选项C，展开式的通项公式为，

令，得，则，即展开式中的系数为40，则C正确；

对于选项D，展开式中的二项式系数之和为，故D正确.

故选：ACD

10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出对称轴，即可得到的取值情况.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数

的图象关于直线对称

又

当时，；当时，；当时，；

故选：AD.

11．已知函数，函数，则下列结论正确的是（       ）

A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是

B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是

C．若有4个不同的零点，则

D．若有4个不同的零点，则的取值范围是

【答案】BCD

【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案.

【详解】解：令得，即

所以零点个数为函数与图像交点个数，

故，作出函数图像如图，

由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；

有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；

有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；

由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.

故选：BCD

12．已知正四面体的棱长为．点E，F满足，用过A，E，F三点的平面截正四面体的外接球O，当时，截面的面积可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】作出当时的图象，问题转化为截面AEF从平面ARS转动到平面ACD的过程中截球所截得圆面的面积范围，利用球的截面的性质得出圆面的半径平方的范围即可求解.

【详解】如图1,

在棱BC上取点R，在棱BD上取点S，使得，取CD的中点G，连接AR，AS，RS，BG，AG，记RS∩BG=M，连接AM. 过点A作AH平面BCD，垂足为H，则H为△BCD的中心，正四面体ABCD外接球的球心在AH上，AO为球的半径.

由题中数据可得.

设球的半径为R，则，解得.

当时，截面AEF从平面ARS转动到平面ACD，要求截面的面积只需考虑球心到截面的距离的取值范围即可.

由题意可知CD//RS且CD平面ABG，如图2，

过点作，垂足为N，则ON平面ARS.

因为，所以，即球心到截面的距离，

则截面圆的半径，故所求截面的面积.

故选：CD

三、填空题

13．已知向量，若，则_____．

【答案】或或

【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.

【详解】，

，

，

，解得或.

故答案为：或.

14．在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．

【答案】

【分析】异面直线与所成角转化为直线与所成角即可求出答案.

【详解】如图

连接，取中点为点,连接，，

且

四边形为平行四边形

同理

异面直线与所成角即为直线与所成角

设正方体的棱长为，则，，   

在中，

故答案为： .

15．五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是_______．

【答案】

【分析】根据全排列求出7人总的排法种数，再利用插空法求出小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法种数，根据古典概型求解.

【详解】7个人全排列有种排法，利用插空法，其中小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法有种，

所以小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率.

故答案为：

16．已知双曲线的右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为______．

【答案】

【分析】根据双曲线的定义及余弦定理可求解.

【详解】如下图所示，设双曲线的右焦点为，

设直线的倾斜角为，则，

由题意可知，则，则双曲线的定义有，从而，

所以在中，由余弦定理有.

故答案为：

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．

设等差数列的前n项和为，且,．

(1)求的最小值；

(2)若数列满足____________，求数列的前10项和．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）结合等差数列的通项公式和前项和公式求得，，利用二次函数的性质即可求解；

（2）选①，判断，进而求解；选②，利用裂项相消法即可求解；选③，，利用分组求和法即可求解.

【详解】(1)由题，，，所以，

则，

所以当时，的最小值为.

(2)设数列的前项和为，

选①，由（1），，令，即,

所以，

所以；

选②，由（1），，

所以；

选③，由（1），，，

所以

18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．

(1)求B的值；

(2)若，且，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由两角和的正弦公式化简求出即可得解；

（2）由已知求出，再由正弦定理可得，联立已知求出，利用三角形面积公式求解.

【详解】(1)，

,

，，又，

即，又.

(2)因为，且，所以，

则.

由正弦定理可得，即，化简得，

又，联立可解得

故△ABC的面积为.

19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱的中点，．

(1)证明：平面．

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】建立空间直角坐标系，再分别求出相关平面的法向量及，再运用向量的共线及向量的夹角公式可求解.

【详解】(1)

矩形对角线的交点记为，可知,又因为,可知,同理可得，,且底面，所以底面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

从而有

设平面的法向量为，则有，可取，

所以，所以平面.

(2)记平面、平面的法向量分别为、.

由（1）中的数据，同理可得平面、平面的法向量分别为、，

根据法向量的方向，可知平面与平面的夹角的余弦值即为.

20．点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌能响力，决定对新顾客实行让利促销．促销活动规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元，15元或者20元代金券一张，中奖率分别为、和，每人限点一餐．且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位员工决定点餐试吃．

(1)求这五人中至多一人抽到10元代金券的概率；

(2)这五人中抽到15元，20元代金券的人数分别用a，b表示，记，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】(1)设“这5人中恰有i人抽到10元代金券”为事件，由互斥事件的概率求和公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；

(2)由题意可知可取，求得相应的概率值，列出分布列，最后求解数学期望即可.

【详解】(1)设“这5人中恰有i人抽到10元代金券”为事件，

易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率：

.

(2)由题意可知的可能取值为

，

，

故的分布列为：

故

21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，.

【分析】(1)由题意，列出方程可直接求解;

(2)先得到切线方程，从而可得点的坐标，再写出圆的方程后代入点的坐标可求解.

【详解】(1)由题意得，

所以椭圆C的标准方程为.

(2)由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：

联立，消得，

又，则，

所以，

所以，

及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，

所以椭圆上切点为的切线方程为.

切线方程与联立得，

则线段为直径的圆的方程为，

设，则，

化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.

此时.

故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.

22．已知函数．

(1)讨论的单调性．

(2)若，证明：对任意的，都有．

【答案】(1)单调性讨论见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据a的符号分类讨论即可；

（2）考虑x的取值范围，采用缩放法可以证明.

【详解】(1) ，

当时， ， 是单调递增的；

当 时，令 ，得到    ，

当 时， ， 单调递减；

当 时， ， 单调递增；

(2)由题意， 时， 等价于 ，

设 ，当 时， ， 单调递增，

…①，

设 ， 是增函数，

，即 ，

，

，

令 ，

= ，

当 时， ，当 时， ，

时， 取最大值   ，

， ，

即 的最大值小于2.5，由①可知，   ，

∴当 时， ，

即 ；

【点睛】本题的第二问要从 考虑，因为 的最小值就是在 取得，

对于原不等式，由于导数计算过于复杂，因此考虑对 进行缩放，

使得计算比较简单.