2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中质量检测数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．某公司利用随机数表对生产的900支乙肝疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是（       ）
1676622766   5650267107   3290797853   1355385859   8897541410
1256859926   9696682731   0503729315   5712101421   8826498176
5559563564   3854824622   3162430990   0618443253   2383013030
A．827 B．310 C．503 D．729
【答案】C
【分析】利用随机数表的读法即可得出答案.
【详解】从表中第4行第4列开始向右读取分别为
685，992（舍），696，966（舍），827，310，503，第5个数为503，
故选：C．
2．某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，……，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（       ）

A．，86 B．，87 C．，87 D．，86
【答案】C
【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.
【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i>5，
由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为故选：C
3．下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（       ）
A． B．
C． D．是一个常数
【答案】D
【分析】根据排列组合计算公式即可求解．
【详解】对于A，∵，∴A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，


，故C不正确；
对于D，n应满足解得.
所以，故D正确．
故选：D
4．有4名大学生志愿者参加北京冬奥会志愿服务，冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，
然后将3个项目全排列，共有种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，
因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，
故选：B.
5．如图是一个边长为5的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷500个点，其中落入白色部分的有160个点，据此可估计黑色部分的面积为（       ）

A．17 B．14 C．11 D．8
【答案】A
【分析】根据面积型几何概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意，，
所以；
故选：A
6．下列说法中正确的是（       ）
A．若随机变量，则
B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于1，，之间的线性相关程度越高；
D．已知随机变量服从正态分布且，则
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质判断A，根据互斥事件与对立事件的定义判断B，根据相关系数的概念判断C，根据正态分布的性质判断D；
【详解】解：对于A：因为，所以，所以，故A错误；
对于B：与是互斥事件则与不一定为对立事件，故充分性不成立，
若与互为对立事件，则与是互斥事件，故必要性成立，
故“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，即B错误；
对于C：根据相关系数的概念可知，相关系数越接近于1，，之间的线性相关程度越高，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布且，
所以，故D错误；
故选：C
7．2021年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，计算(A)、的值，从而．
【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，
则(A)，，．
故选：A．
8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则下列说法正确的个数有（       ）
①某学生从中选3门，共有30种选法
②课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法
③课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
④课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周共有408种排法
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①直接计算；②利用插空法；③选项利用捆绑法；④选项分课程“御”排在第一周和不排在第一周两种情况考虑.
【详解】6门中选3门共有种，故①错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故②正确；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故③正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故④错误.
故选：B.
9．如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（       ）

A．780 B．840 C．900 D．960
【答案】D
【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.
【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
10．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（       ）
A．掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”
C．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一个家庭中最多有一个女孩}
D．一个家庭中有三个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一个家庭中最多有一个女孩}
【答案】C
【分析】根据独立事件的定义，以及独立事件的概率乘法公式，逐个判断各个选项的正误
【详解】对于A：∵，，，
∴，
∴事件M与事件N是相互独立事件，
对于B，由于抽取方法是“有放回”，所以是相互独立事件.
对于C，，，
，所以不是相互独立事件.
对于D，，，
，
∴，∴事件M与事件N是相互独立事件，
故选：C.
11．目前，新型冠状病毒席卷上海，一方有难八方支援，全国各地医疗队伍紧急支援上海，我市某医院决定从8名医生中选派4名分别支援上海四家医院，每家医院各派去1名医生，其中甲和乙不能都去上海，甲和丙只能都去或都不去上海，则不同的选派方案有（       ）种
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】C
【分析】根据甲乙丙三人是否去上海，分类讨论，即可求得所有可能的情况.
【详解】若甲去上海，乙不去上海，则丙去上海，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：种情况；
若甲不去上海，乙不去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，
此时有：种情况；
若甲不去上海，乙去上海，则丙不去上海，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，
此时有：种情况；
故共有：种情况.
故选：C.
12．如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是（       ）

A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种
B．甲､乙两人相遇的概率为
C．甲乙两人在处相遇的概率为
D．甲从M到达N处的方法有20种
【答案】B
【分析】分别计算两人经过的走法种数，由排列组合与古典概型对选项逐一判断
【详解】对于甲，经过到达有1种，经过到达有种，
经过到达有种，经过到达有1种，甲从M到达N处的方法共有20种，
同理对于乙，经过到达分别有种．
对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确，
对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误，
对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确，
对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确
故选：B
二、填空题
13．摇两次骰子，将结果记为，，则为整数的概率是___________.
【答案】
【分析】先列出两次骰子的所有可能结果，在列出相除为整数的结果，最后相除可得结果.
【详解】记摇两次骰子的结果为，则共有共36种情况，
为整数的有：
共14种情况.
为整数的概率为=
故答案为：
14．一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.
【答案】
【分析】由题意次取球中恰好次取到红球的概率大于，根据次独立重复试验概率计算公式列出不等式可求出的范围，进而求出的具体数值；然后由随机取出个球是红球的概率为列式即可求出的值.
【详解】次取球中恰好次取到红球的概率大于，
，，
，，，，
又，，，
又从口袋中随机取出个球是红球的概率为，，
故答案为：
15．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为___________.
【答案】299
【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.
【详解】令，得.
所以的展开式中所有项的系数和为 .
由可以看成是5个因式相乘.
要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.
故答案为：299.
16．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________
【答案】
【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.
【详解】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.
故答案为:
三、解答题
17．在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
【答案】（1），；（2）.
【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；
选择②：转化为，计算即可
（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可；
（2）写出展开式的通项，令，即得解
【详解】选择①.
，即，
即，即，
解得或（舍去）.
选择②.
，即，解得.
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，
.
（2）展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中常数项为第7项，
常数项为.
18．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障.某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；
(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分；
(3)在第四､第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】(1)
(2)78
(3)
【分析】（1）由题意列方程组求解
（2）由频率分布直方图数据判断分数线的位置，设未知数后列方程求解
（3）由古典概型求解
【详解】(1)由题意得
解得
(2)由频率分布直方图得和的频率分别为，故录取分数落在第四组，设其为，
，解得，
即被录取至少需要78分．
(3)由题意在第四组中抽取4人，设为，在第五组中抽取1人，设为，
在5人中随机抽取2人，基本事件有共10个
记事件表示两人来自同组，包含的基本事件共6个
故
19．2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2月底学生不能如期到学校上课，某校决定采用教育网络平台和老师钉钉教学相结合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了两个班级，并得到如表数据：

A班
B班
合计
严格遵守
36

56
不能严格遵守



合计
50
50

(1)补全上面的列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
(2)网络授课结束后，高一年级800名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布，若90分以下都算不及格，问高一年级不及格的学生有多少人？并且估计全年级第一名学生的数学成绩是在多少分以上？（人数四舍五入）
附1：参考公式：；附2：若随机变量X服从正态分布，则，














【答案】(1)见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
(2)18人，115分以上.
【分析】（1）根据表格补齐数据，代入公式计算出即可判断；
（2）根据正态分布求解概率，根据概率计算人数，估计分数.
(1)

A班
B班
合计
严格遵守
36
20
56
不能严格遵守
14
30
44
合计
50
50
100
，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
(2)学生的数学成绩近似服从正态分布，
，
，
所以高一年级不及格的学生18人，
，
所以全年级第一名学生的数学成绩在分以上.
20．从2020年开始，学习强国平台开展了两项答题活动，一项为“争上游答题”，另一项为“双人对战”.“争上游答题”项目的规则如下：在一天内参与“争上游答题”活动，仅前两局比赛有积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分，每局比赛相互独立.“双人对战”项目的规则如下：在一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛有积分，获胜得2分，失败得1分，每局比赛相互独立.已知甲参加“争上游答题”活动，每局比赛获胜的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.
(1)若甲连续4天参加“双人对战”活动，求甲这4天参加“双人对战”项目的总得分不低于6分的概率；
(2)记甲某天参加两项活动（其中“争上游答题”项目参与两局以上）的总得分为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设甲这4天参加“双人对战”项目的总得分为，则的可能取值为4，5，6，7，8，求出每个值的概率，即可求解；
（2）由题意，的可能取值为3，4，5，6，7，求出每个值的概率，即可得到分布列与数学期望；
【详解】(1)设甲这4天参加“双人对战”项目的总得分为，
则的可能取值为4，5，6，7，8，
且，，
，，
，
所以甲这4天参加“双人对战”项目的总得分不低于6分的概率为
；
(2)由题意可知，的可能取值为3，4，5，6，7，
且，
，
，
，
，
所以的分布列为

3
4
5
6
7






数学期望为

21．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：其中，，，，，，，，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)求声音强度D关于声音能量I的回归方程．
(3)假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】(1)更适合
(2)
(3)点P处会受到噪声污染，理由见解析
【分析】（1）直接判断即可；
（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；
（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.
【详解】(1)更适合．
(2)令，则
，            
，            
D关于W的回归方程是，
则D关于I的回归方程是．
(3)设点P处的声音能量为，则．
因为
所以



当且仅当，即时等号成立                       
所以，
所以点P处会受到噪声污染
22．某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；
(2)请写出与的递推关系，求数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，
【分析】（1）首先求出第二天选择甲餐厅的概率，第二天选择乙餐厅的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，得到分布列从而求出数学期望；
（2）依题意，，整理可得，即可得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出的通项公式；
【详解】(1)解：第二天选择甲餐厅的概率，
第二天选择乙餐厅的概率，
记3人在第二天的有个人选择甲餐厅，则，
所以的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
即，，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
(2)解：依题意，，即．
，
当时，可得，
数列是首项为，公比为的等比数列，所以．