2021-2022学年宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年宁夏回族自治区银川一中高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.

【详解】由于，所以，

所以实数m的取值集合为.

故选：C

2．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】由题意得，解得且，

故选：D

3．极坐标方程表示直线的斜率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件化极坐标方程为直角坐标方程即可求出直线的斜率.

【详解】以极坐标系中极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，直线：，即，

将代入得：，即该直线的直角坐标方程为，其斜率，

所以极坐标方程表示直线的斜率为.

故选：B

4．已知命题，，则是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由全称命题的否定可得出结论.

【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，，

故选：D.

5．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数中每一个自变量有且只有唯一函数值与之对应，结合函数图象判断符合函数定义的图象即可.

【详解】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，

A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义.

故选：C

6．圆的圆心坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得到，再根据极坐标系的性质求解即可.

【详解】由圆的极坐标方程得，可知圆心为.

故选：A.

7．在平面直角坐标系中，经讨伸缩变换，后，圆变成曲线（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据伸缩变换的知识求得正确答案.

【详解】，

代入得.

故选：C

8．不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，可得或，计算即可.

【详解】，

或，

或，

即解集为.

故选：A

9．,,,,设,则下列判断中正确的是(      )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：a、b、c、d∈R＋，

【解析】放缩法

10．下列说法中正确的是（       ）

A．“若，则”的否命题为真

B．对于命题：，使得，则：，均有

C．命题“已知，若，则或”是真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【解析】根据否命题概念判断A，命题的否定的概念判断B，由逆否命题的真假判断C，由充分不必要条件的定义判断D．

【详解】“若，则”的否命题是“若，则”是假命题，时，，A错；

命题：，使得的否定是：，，B错；

命题“已知，若，则或”的逆否命题是“若且，则”这是真命题，所以原命题也是真命题，C正确；

当时，，不充分，D错．

故选：C．

【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，一般可根据各个命题所涉及到的知识进行判断，但当一个命题从正面判断较难时，可判断它的逆否命题，因为互为逆否命题的两个命题同真假．特别对否定性的命题，从它的逆否命题判断更加方便．

11．与参数方程(t为参数)等价的普通方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出参数方程中参数t的取值范围，确定x，y的范围，再消去参数t判断作答.

【详解】依题意，，因此有，且，

则有，

所以所求的普通方程为.

故选：D

12．如图：在椭圆中有一内接矩形（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形的面积最大时，点A的坐标是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先设，根据对称性计算矩形面积，结合三角函数性质得到取最大值时的条件，即得结果.

【详解】椭圆上A点在第一象限内，可设为，

则第一象限内小矩形面积，

所以矩形的面积，则，

当，即时，面积最大为40，此时，点.

故选：C.

二、填空题

13．在极坐标系中，点到直线的距离为____________．

【答案】2

【分析】把点坐标和直线方程转化为直角坐标系下的点坐标和直线方程，利用点到直线距离公式，即得解

【详解】由题意，计算点的直角坐标为

即

直线

即

由点到直线距离公式可得：

故答案为：2

14．已知集合，，则=_______.

【答案】

【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.

【详解】由题意，，所以.

故答案为：.

15．若，则的最小值为________.

【答案】8

【分析】根据题意对进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．

【详解】解：令

，

，

即，

所以，

当且仅当，

即，

即当时等号成立.

【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公式时，一定要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件．

16．下列各结论中，正确的是______．

①“为真”是“为真”的充分不必要条件；

②“为假”是“为假”的充分不必要条件；

③“为真”是“为假”的必要不充分条件；

④“为真”是“为假”的必要不充分条件．

【答案】①③

【分析】利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可

【详解】对于①，当为真时，都为真，所以为真，当为真时，至少有一个为真，则不一定为真，所以“为真”是“为真”的充分不必要条件，所以①正确，

对于②，当为假时，中至少有一个为假，则不一定为假，当为假时，都为假，则一定为假，所以“为假”是“为假”的必要不充分条件，所以②错误，

对于③，当为真时，至少有一个为真，所以不一定为假，而当为假时，为真，所以一定为真，所以“为真”是“为假”的必要不充分条件，所以③正确，

对于④，当为真时，为假，则为假，当为假时，中至少有一个为假，所以不一定为假，则不一定为真，所以“为真”是“为假”的充分不必要条件，

所以④错误，

故答案为：①③

三、解答题

17．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.

【详解】（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

18．已知集合.

(1)若A是空集，求的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)当时集合，当时集合；

(3)

【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；

（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；

（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．

【详解】(1)解： 是空集，

且，

，解得，

的取值范围为：；

(2)解：①当时，集合，

②当时，，

，解得，此时集合，

综上所求，当时集合，当时集合；

(3)解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；

当中有2个元素时，则且，即，解得且；

综上可得时中至少有一个元素，即

19．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：．

(1)求C的直角坐标方程和l的普通方程；

(2)设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．

【答案】(1)C的直角坐标方程为：，l的普通方程为：

(2)

【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数，求得直线的普通方程.

（2）将代入，结合直线参数方程中参数的几何意义以及根与系数关系求得.

【详解】(1)曲线C的极坐标方程是：，,

根据，,即．

直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线的普通方程为．

(2)P（0，1）在直线l上，将代入，

整理得到，则，

所以．

20．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若方程有三个实根，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）分三种情况求解；

（2）由方程可变形为，

令作出图象如图所示，根据图象求解.

【详解】解：（1）时，，

当时，，不可能非负；

当时，，

由可解得，于是；

当时，恒成立，

所以不等式的解集为；

（2）由方程可变形为，

令

作出图象

由题意可得.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题.

21．已知，，不等式恒成立.

（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先根据绝对值三角不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；

（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.

【详解】（1）因为，所以，

因为，，，

所以，

所以，

故.

（2）因为，所以，

即，两边开平方得，

同理可得，，

三式相加，得.

【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力，是中档题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线：与曲线的交点为，，直线：与曲线的交点为，．

（1）求曲线的普通方程；

（2）证明：为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，得到，即可求得的普通方程；

（2）由（1）求得极坐标方程为，用与其联立方程组，求得和，结合，即可求解．

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数，），

可得（为参数，），消去参数，可得，

即的普通方程为．

（2）由（1）曲线的普通方程为，可得极坐标方程为，

联立方程组，整理得，

所以，

同理可得，

所以为定值．