2021-2022学年云南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年云南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南师范大学附属中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.
【详解】设某人在春季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为．
故选：C．
2．设随机变量，，则（       ）
A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性计算出的值，然后根据求解出结果.
【详解】解：∵随机变量，，
∴，，
∴.
故选：C.
3．用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（       ）

A．72 B．48 C．36 D．24
【答案】A
【分析】可以同色的区域为BD，CE，分类讨论结合排列知识即可求解．
【详解】由题意，可以同色的区域为BD，CE；若只有BD同色，则有种；
若只有CE同色，有种；若BD，CE都同色，则种，由分类计数原理，
共有种，
故选：A．
4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.
5．的展开式中，含的项的系数为（       ）
A． B．40 C．80 D．120
【答案】A
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】解：因为的展开式中，通项为，
所以含的项的系数为．
故选：A
6．某校为了做好疫情防控工作，组织了6个志愿服务小组，分配到3个校门进行志愿服务，若每个校门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个校门进行服务，则不同的分配方法种数为（       ）
A．90 B．540 C．630 D．1080
【答案】B
【分析】6人分成3组有三种方案：“”，“”、“”，先分组再分配即可求解.
【详解】6人分成3组有三种方案：“”，“”、“”，
共有种方法，3组分配到3个校门有种方法，
根据乘法原理不同的分配方法数为：，
故选：B．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前46项和为（       ）

A．4080 B．2060 C．2048 D．2037
【答案】D
【分析】根据规律得出杨辉三角中每一行的和，每一行的数的个数，这样可确定题中数列前46项，正好包含杨辉三角中前11行，加上第12行的第2个数11，由此可得结论．
【详解】杨辉三角的第n行的和为，故前n行的和为，
每一行的个数为1，2，3，…，可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则，
当时，，去除两端的1可得，
则此数列的前46项的和为：．
故选：D
8．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，从而可求出，同样的方法可求出，进而可求出比值
【详解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，
故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
∴.
故选：B
二、多选题
9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，已知，下列说法中正确的是（       ）
A．数据的平均数为1
B．若变量x，y的经验回归方程为，则实数
C．将数据中的每个数都加上同一个常数，所得新数据方差不变
D．两个变量x，y的线性相关性越强，则变量x，y的样本相关系数r越大
【答案】ABC
【分析】根据均值的定义判断A，由数据中心点求出经验回归方程中的系数判断B，利用方差公式判断C，根据相关系数的意义判断D．
【详解】因为，所以，
所以对于A选项，的平均数为，故A正确；
对于B选项，若数据的线性回归方程是，则，故B正确；
对于C选项，数据中的每个数都加上同一个常数，平均值也加同这个常数，因此与相等，故方差不变，故C正确；
对于D选项，当变量x，y的负相关时，相关性越强，相关系数r越小（越接近于），故D错误．
故选：ABC
10．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究秃顶与患心脏病是否有关时，零假设为；秃顶与患心脏病无关，经查对临界值表知，下列说法正确的是（       ）
A．若，当小概率值时，推断不成立，即认为“秃顶与思心脏病有关联”
B．若，当小概率值时，推断不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联”
C．若当小概率值时推断不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联”，是说某人秃顶，那么他有的可能性患心脏病
D．若当小概率值时推断不成立，是指在犯错误的概率不大于0.1的前提下，认为“秃顶与患心脏病有关联”
【答案】AD
【分析】利用独立性检验判断.
【详解】当小概率值时，，则推断不成立，即认为“秃顶与患心脏病有关联"，故A正确；
当小概率值时，，则没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为“秃顶与患心脏病无关"，故BC错误；
从独立性检验可知，当小概率值时推断不成立，即认为秃项与患心脏病有关联，该推断犯错误的概率不大于0.1，故D正确．
故选：AD．
11．一袋中有质地、大小完全相同的3个白球和2个红球，下列结论正确的是（       ）
A．从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是
B．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为
D．从中不放回地取球，取完红球就停止，记停止时取得的白球的数量为X，则
【答案】CD
【分析】对于A，利用古典概型的概率求解判断；对于B，利用独立重复实验的概率求解判断； 对于C，利用条件概率求解判断；对于D，利用超几何分布的概率求解判断.
【详解】对于A，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，故A不正确；
对于B，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为，所以恰好有2个白球的概率为，故B不正确；
对于C，设第1次取到白球为事件A，第2次再取到白球为事件B，所以第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为，故C正确；
对于D，表示事件“取完红球时，取到1个白球”，共取球3次，前2次1红1白，第3次为红球，概率为，故D正确．
故选：CD．
12．某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第1次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲、乙、丙三人参加抽奖活动，记中奖人数为X，下列说法正确的是（       ）
A．若甲第1次投掷正面朝上的点数为4，则甲中奖的可能情况有6种
B．若甲第3次投掷正面朝上的点数为6，则甲中奖的可能情况有20种
C．甲中奖的概率为
D．
【答案】ACD
【分析】对于AB：直接列举基本数据即可；
对于C：分析甲中奖的可能情况，利用古典概型求概率；
对于D：利用二项分布求数学期望.
【详解】由题意知，当时，中奖情况有种，故A正确；
当时，中奖情况有种，故B错误；
中奖情况如下：当时，；共有；当时，，则可能有；，则可能有；共有；当时，，则可能有；，则可能有；，则可能有；共有；……由上可知：当时，共有记“”的事件为A，则中奖的可能情况共有种，所有可能情况有种，，故C正确；
三人参加抽奖，每人中奖的概率均为，中奖人数，所以，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
13．已知随机变量X服从二项分布，则___________．
【答案】
【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.
【详解】随机变量X服从二项分布.
故答案为：.
14．现有8道四选一的单选题，某考生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率均为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为___________．
【答案】0.6625
【分析】根据全概率公式计算．
【详解】设A表示“考生答对”，B表示“选到有思路的题”，由全概率公式得
．
故答案为：．
15．从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为_____（结果用数字作答）
【答案】28
【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算和分类计算，即可求解.
【详解】从0，2，4中任取2个数字有种取法，
从1，3中任取1个数字有种取法，
故从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，将3个数字排成一排共种，
当取到的数字有0时，0不能在第一位，故符合题意的共种.
故答案为：28.
16．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________．
【答案】
【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.
【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，所以，，
所以次传球后球在甲手中的概率为．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
四、解答题
17．已知
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)16384
【分析】（1）由二项展开式通项公式可求得；
（2）令可得系数的绝对值之和．
【详解】(1)因为，其展开式的通项为，令，得；
(2)令，得．
18．有三名男生，三名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)三名男生身高都不相等，从左向右看，三名男生按从高到低的顺序站；
(3)两名老师分别站两端，且三名女生中恰好有两名女生相邻．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先安排2位老师，再排6名同学，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先从8个位置中选出3个位置给3名男生，再将剩下的5人排到5个位置，按照分步乘法计数原理计算可得；
（3）先排两名老师，再排3名男生，最后将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在4个空位中的2个，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】(1)解： 2名老师站中间，有种站法，6名学生有种站法，
故共有种．
(2)解：先从8个位置中选出3个位置给3名男生，有种方法，
再在剩下的5个位置上排其余5人，有种站法，
故三名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有（种）．
(3)解：根据题意，分3步进行分析：
①两名老师分别站两端，有种站法；
②先安排三名男生，有种排法，男生排好后，有4个空位可选；
③将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在4个空位中的2个，有种站法；
故共有种不同的站法．
19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的积极性有影响，为此，随机抽取了本校50名学生，其中男、女生的比例为，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：
性别
锻炼
合计
经常
不经常
男生

2

女生
7


合计


50
(1)请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，判断体育锻炼的积极性与性别是否有关联？
(2)为进一步了解影响学生体育锻炼积极性的原因，现对样本中不经常进行体育锻炼的学生逐个进行访谈（随机抽取确定访谈顺序），设2名男生恰好访谈完毕时，已访谈的女生数为X，求随机变量X的分布列．

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：
【答案】(1)填表见解析；认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
(2)答案见解析
【分析】（1）先根据已知条件和列联表中的数据补充列联表，然后根据公式求解，再根据临界值表比较可得结论，
（2）由题意可得X的所有可能取值为：0，1，2，然后求出相应的概率，可得随机变量X的分布列
【详解】(1)由题意可得，一共抽样50个，男、女生之比为，故男生有人，女生有10人，故男生经常锻炼的人数为，女生不经常锻炼的人数为，填表如下：
性别
锻炼
合计
经常
不经常
男生
38
2
40
女生
7
3
10
合计
45
5
50
零假设为：体育锻炼的积极性与性别无关，经计算
，
故推断不成立，即认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)依题意得，访谈顺序的所有可能为男男女女女，男女男女女，男女女男女，男女女女男，女男男女女，女男女男女，女男女女男，女女男男女，女女男女男，女女女男男，共10种可能．
X的所有可能取值为：0，1，2，3．，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




20．某高校通过自主招生方式招收优秀的高三毕业生，测试方式分为初试和复试两个阶段，初试阶段每位同学最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止初试，答对3题者进入复试阶段，答错3题者则被淘汰．已知某同学答对任何一个问题的概率均为，且每个问题是否答对互不干扰，求：
(1)该同学可进入复试阶段的概率；
(2)设该同学在初试阶段答题的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意分别求出该同学答对3题，答对4题和答对5题的概率，再根据互斥事件的概率公式可求得结果，
（2）由题意得，X的可能取值为3，4，5，求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望
【详解】(1)该同学答3题进入复试的概率为；
答4题进入复试的概率为；
答5题进入复试的概率为，
所以该同学可进入复试的概率为
(2)由题意，X的可能取值为3，4，5，则有，
，
，
所以X的分布列为
X
3
4
5
P



数学期望为
21．为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率分布表．
竞赛成绩







人数
6
10
18
33
16
11
6
(1)求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布，用样本估计总体，近似为样本均值，近似为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：）
①如果按照的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；
②若该市共有10000名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．
附：若随机变量X服从正态分布，则，．
【答案】(1)；
(2)①分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖 ；②
【分析】（1）根据频率分布表中的数据利用平均数公式和方差公式可求得结果，
（2）①设竞赛成绩达到a及以上为特等奖；成绩达到b但小于a为一等奖，成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，则根据题意和正态分布的性质可得，，从而可得答案，②根据正态分布的性质求解
【详解】(1)由频率分布表可得


(2)该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布，
①设竞赛成绩达到a及以上为特等奖；成绩达到b但小于a为一等奖，成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，则
，
由于，因此；
由于，
因此，
所以分数低于50的为参与奖，分数大于等于50小于65的为二等奖，分数大于等于65小于80的为一等奖，分数大于等于80的为特等奖．
②
估计参赛者中超过80分的人数为．
22．为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
同学甲选择指数型函数模型（c，d均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中，







62.14
1.54
140
2535
50.12
27694
3.47
(1)根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立y关于x的经验回归方程；
(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为；同学乙选择线性回归模型，并计算得经验回归方程为，以及该回归模型的决定系数；
①用决定系数比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例



为缓解周边居民出行压力，车队以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．决定系数：
【答案】(1)
(2)①甲建立的回归模型拟合效果更好；②3470人次
(3)3年
【分析】（1）对两边取对数得：，再跟所给数据及公式求出、，最后根据指数与对数的关系求出、，即可得解；
（2）①计算出相关指数，与比较即可判断；
②将代入回归方程计算可得；
（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，由题意知：所有可能取值为：1.4，1.6，1.8，2，求出所对应的概率，即可求出的数学期望，再解不等式即可；
【详解】(1)解：对两边取对数得：，
其中，，，
，
，，
所以，，
所以．
(2)解：①甲建立的回归模型的甲建立的回归模型拟合效果更好．
②利用甲建立的模型预测，当时，，
活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470人次；
(3)解：设一名乘客一次乘车的费用为元，
由题意知：所有可能取值为：1.4，1.6，1.8，2，
，，
，，
，假设这批车需要年才能开始盈利，
则，解得：，∴需要3年才能盈利．