2021-2022学年安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校高一下学期期中数学试题（A卷）含解析

2021-2022学年安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校高一下学期期中数学试题（A卷）

一、单选题

1．复数（其中是虚数单位）的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．

【详解】解：，故复数的虚部为，

故选：C

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.

2．与向量平行的单位向量是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解.

【详解】因为与向量平行的单位向量是，,

所以,

故选：D

3．异面直线是指（       ）

A．不同在任何一个平面内的两条直线

B．平面内的一条直线与平面外的一条直线

C．分别位于两个不同平面内的两条直线

D．空间中两条不相交的直线

【答案】A

【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误.

【详解】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；

B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误；

C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；

D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误.

故选：A

4．数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式(为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，表示的复数在复平面中位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由题可知对应在复平面的点为，由可判断和的正负，进而得到答案.

【详解】由题，，其对应点为,

因为知，，，

所以点在第二象限，

故选：B

5．在中，，，分别是，，的对边，且，则的大小是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.

【详解】解：因为，所以，

即.于是，

因为，所以.

故选：C

6．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（       ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为向量，，且与夹角为钝角，

由上述条件得，，且，不反向，

由得，，.

当，共线时有，，.此时，反向，

因此实数的取值范.

故选:D.

7．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角形面积公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设分别是和的外接圆圆心，则的中点是三棱柱的外接球球心，求球半径后可得表面积．

【详解】设，因为，

所以，，

而，所以(于是是外接圆的半径)，，即，

如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，

，

所以外接球为.

于是球的表面积为.

故选：C.

8．的外接圆的圆心为，满足且，，，则（       ）

A．36 B．24 C． D．

【答案】A

【解析】根据已知条件，在两边分别乘以向量和，可以得到①，②，再根据、①②和①②，得到，联立两式即可求出.

【详解】如图，设中点为，中点为，

外接圆圆心为和垂直平分线的交点，

则，

同理，

在两边分别乘以向量和，

，

即①，②，

①②得，

，

即③，

①②得，

，

即④，

联立③④，解得.

故选：A

【点睛】本题主要考查数量积的计算、三角形外心的概念和向量的运算，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.

二、多选题

9．在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】延长至，使，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A是否正确；由题意可知，结合，根据共线定理即可求出，即可判断B,D是否正确；由于，同底，以及，结合相似关系，可得，即可判断C是否正确.

【详解】延长至，使，如下图所示，则是平行四边形，

所以，故A正确；

因为，故B正确，D错误；

分别故作边的垂线，垂足分别为，如下图所示：

则，

又，所以，所以与高之比为，

又，的底均为，所以，故C正确.

故选:ABC.

10．下列命题中，正确的有（       ）

A．若与是共线向量，则、、、四点共线

B．若，则，，三点共线

C．对非零向量，若，则

D．平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示

【答案】CD

【分析】可以举反例说明选项AB错误，可以利用数乘向量的性质和平面向量基本定理判断选项CD正确.

【详解】对A，因为共线向量所在直线可以平行，所以选项A错误；

对B，，，可以组成三角形，所以选项B错误；

对C，因为，，所以，即，所以选项C正确；

对D，根据平面向量基本定理，可以判断该选项正确，所以选项D正确.

故选：CD.

11．设，是复数，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】举反例证明选项A，B错误；利用一般情况证明选项C，D正确.

【详解】对A，取，，有，但，且，所以A错误；

对B，取，，且，但，所以B错误；

对C，设，则，因此，所以C正确；

对D，设，，则由得，，，，因此，所以D正确.

故选：CD.

12．如图，用小刀切一块长方体像皮的一个角，在棱、、上的截点分别是，，，则截面可以是（       ）

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形

【答案】AC

【分析】结合长方体的性质，

法1：设，，，由勾股定理可得，，，根据余弦定理可判断内角均为锐角，而当时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案；

法2：由，，根据的正负可判断是锐角，同理判断其他内角也为锐角，而当时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案.

【详解】法1(余弦定理)：由题，如图，设，，，则，，，

在中，，

所以是锐角，

同理得到，，都是锐角，故C对.

特别地，当时，是等边三角形，故A对，

故选：AC

法2(向量法)：因为，，

所以，

因此是锐角，

同理得到，都是锐角，故C对，

特别地，当时，是等边三角形，故A对，

故选：AC

三、填空题

13．若向量，，且，则实数的值是______.

【答案】1

【分析】由可知，即，进而求解.

【详解】因为，

所以，则，即，解得，

故答案为：1

14．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，则复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是______.

【答案】

【分析】整理，由实部与虚部相等可得，则，进而求解.

【详解】由题，，则，所以，

因此，在复平面内对应的两点之间的距离是，

故答案为：

15．用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒内切球的体积是______.

【答案】

【分析】根据题意得圆锥的母线长是1，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径，再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半，求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.

【详解】圆锥筒的母线长是1.

设圆锥筒的底面半径是，内切球的半径是，则，.

由，.

故该圆锥筒内切球的体积是，

故答案为：.

四、双空题

16．在中，，，若中线的长为，边的长为，则与的函数关系式是______，中线长的最小值是______.

【答案】         

【分析】设，则，利用这两个角结合余弦定理，整理可得与的函数关系，根据三角形中两边之和大于第三边可得的范围，进而结合二次函数性质求得的最小值.

【详解】由题，设，则，因为，则，如图所示，

在中，由余弦定理得①

在中，②

①+②得，，由，解得，

因为，

所以当时，的最小值为，

故答案为：；

五、解答题

17．直角梯形的一个底角为，上底长为下底长的一半.将这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为

(1)求直角梯形的下底长；

(2)求这个旋转体的体积

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题画出梯形，可得出各边关系，且可知旋转体为一个圆柱和一个圆锥的组合体，则，进而即可求解；

（2）由（1）结合圆锥和圆柱的体积公式即可求解.

【详解】(1)如图，

在直角梯形中，，，，

设，，则，，

旋转体是一个圆柱和一个圆锥的组合体，

所以，即，

解得，故直角梯形的下底长为2.

(2)由（1），因为圆柱的体积是，

圆锥的体积是，

所以这个旋转体的体积为.

18．已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数

(1)求复数；

(2)若复数是纯虚数，求实数的值

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解；

（2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.

【详解】(1)设，，则，

就是，即.

于是，解得，所以.

(2)

.

此为纯虚数，所以，即，因此.

19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，

(1)当时，试判断，，三点是否共线，写出理由；

(2)若，，三点构成直角三角形，求实数的值

【答案】(1)共线，理由见解析

(2)或

【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可；

（2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k的值即可.

【详解】(1)因为,

,

所以，且有公共点A,故，，三点共线.

(2)由(1)知，，，，

若，则，即，.

若，则，即，

若，则，即，，无实根.

故实数的值为或.

20．设的内角，，所对的边分别为，，，向量与向量平行.

(1)确定角和角之间的关系；

(2)若是锐角三角形，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系，建立等量关系式，利用余弦倍角公式，结合角的范围，得到；

（2）结合正弦定理，以及（1）的结论和正弦倍角公式得到，根据锐角三角形，得到，进而求得结果.

【详解】(1)由得，

即，

因为，，所以，.

(2).

由是锐角三角形得，解得

于是，，

故的取值范围是.

【点睛】该题考查的是有关三角和向量的综合题目，在解题的过程中，注意利用向量共线建立等量关系式，注意根据三角函数值相等得到角的关系时，一定注意角的范围，最后得范围时要注意根据锐角三角形正确求得角的范围.

21．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点处，2号机器人在点处，3号机器人在点处，且，，米，如图所示

(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；

(2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球.若已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？

【答案】(1)米

(2)可在线段上离点7米的点处截住足球

【分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；

（2）设2号机器人最快可在点处截住足球，利用余弦定理解出即可.

【详解】(1)在中，由正弦定理得，

即，

故1号机器人和2号机器人之间的距离为米

(2)如图，

设2号机器人最快可在点处截住足球，点在线段上

设米.由题意，米.米

在中，由余弦定理得，

整理得.解得，.

所以，或(不合题意，舍去)

故2号机器人最快可在线段上离点7米的点处截住足球

22．如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，.

(1)求的值:

(2)若向量，，且恒成立，求实数的最小整数值.

【答案】(1)3

(2)2

【分析】（1）利用向量的加法及三点共线的结论即得；

（2）利用三角公式得出，利用基本不等式求出的最小值，进而得出答案.

【详解】(1)连接.

因为，，，

所以

因为，，共线，所以，

(2)

显然，所以

等价于，

即

因为，

当且仅当，即，时，

取到最小值

于是，

故

故实数的最小整数值是2.