2021-2022学年广东省广州市执信中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省广州市执信中学高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市执信中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据诱导公式求解即可.【详解】.故选：B.2．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧长公式计算，即可求得答案.【详解】根据弧长公式可得：故选：A.3．函数的图象可由函数的图象A．向左平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向右平移个单位长度得到【答案】B【分析】直接利用函数图象平移规律得解.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，整理得：故选B【点睛】本题主要考查了函数图象平移规律，属于基础题．4．已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再分析得到，即得解.【详解】解：，所以∵，，∴.∴.故选：A.5．已知向量满足，，.则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意求得，结合，即可求解.【详解】由向量，可得，因为且，则.故选：B.6．如图，在平行四边形中，，，，则（       ）（用，表示）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设条件，结合平面向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行四边形中，，，，根据平面向量的线性运算法则，可得.故选：D.7．对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ）A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心【答案】D【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，如下图所示：由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对；对于B选项，如下图所示：由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对；对于C选项，如下图所示：由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；对于D选项，如下图所示：由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.故选：D.8．如图，已知O为重心，且．若，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接并延长交与于点，则是的中点，可得，利用平面向量数量积结合余弦定理可得出，即可求解.【详解】连接并延长交与于点，如图所示因为O为重心且，所以是的中点，且，所以.，所以，所以.设，因为，则，所以，，由余弦定理，得所以，解得.所以的值为.故选：C. 二、多选题9．下面关于复数，正确的是（       ）A． B． C．的共轭复数为 D．的虚部为【答案】ABC【分析】化简复数之后，即可逐一判断四个选项的对错【详解】因为所以故A正确故B正确，故C正确的虚部为故D错误故选：ABC10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．与图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．【详解】由题意，，∴，又，，又，∴，∴．∵，∴不是对称轴，A错；，∴是对称中心，B正确；时，，∴在上单调递增，C正确；，，或，即或，，又，∴，和为，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（       ）A．若 ，则 ；B．若，则一定为等腰三角形；C．若，则为直角三角形；D．若为锐角三角形，则 .【答案】AC【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；对于C，，则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作．设函数，则下列命题正确的是（       ）A．函数的定义域为R，值域为B．函数在上是增函数C．函数为周期函数，最小正周期为1D．函数图象关于直线对称【答案】ACD【分析】A根据函数判断；B由在上不是增函数，可得B不正确；C由判断；D由B可知在时，关于y轴对称；结合最小正周期为1判断；【详解】对于A：∵ (其中m为整数)，∴,∴，∴函数的值域为.对于B：由定义知：当时，，；当时，，，故在上不是增函数，所以B不正确；对于C：由得，∴，，所以函数是周期函数，最小正周期为1，故C正确；对于D：由B可知：在时，关于轴对称；又由C可知：函数是周期函数，最小正周期为1，∴函数的图象关于直线对称，故D正确；故选：ACD． 三、填空题13．若，，则在方向上的投影向量是_______.（用坐标作答）【答案】【分析】根据在方向上的投影向量为，计算即可得解.【详解】解：在方向上的投影向量为.故答案为：.14．圆锥的母线与高的夹角为，底面是半径为2的圆，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【分析】利用圆锥的轴截面是等边三角形以及侧面积是扇形的特点，运用扇形的面积公式求解即可.【详解】圆锥的轴截面以及侧面展开图如图所示，圆锥的母线与高的夹角为，底面是半径为2，，圆锥的侧面积为： 故答案为：.15．已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．【答案】，答案不唯一【分析】化简的表达式，结合在区间的单调性求得的一个取值.【详解】，当时，，，所以在上单调递增，符合题意.故答案为：，答案不唯一16．已知平面向量满足，，，，则的最大值为________．【答案】【分析】根据题意，不妨设，进而根据向量模的坐标表示和基本不等式求解即可.【详解】解：不妨设，则，所以，即所以，即，当且仅当时等号成立，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故答案为： 四、解答题17．已知函．(1)利用“五点画图法”完成以下表格，并画出函数在区间上的图象；               (2)求函数的单调减区间．【答案】(1)表格见解析，图象见解析；(2).【分析】（1）根据“五点画图法”可进行列表、作图；（2）令，解不等式即可得到单调减区间.【详解】(1)根据“五点画图法”可列表如下：作出图象如下，(2)令，解得：，的单调减区间为.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合和角公式得出A；（2）由余弦定理结合基本不等式得出三角形周长的取值范围.【详解】(1)由正弦定理可得.可化为，即.即又则，，故.(2)由可得即，当且仅当时取等号，可化为，则.又由三角形三边关系可得，即.故，故三角形周长的取值范围是.19．在中，，．(1)，，求的最值并指出取最值时x的取值集合；(2)，求B的大小．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由的解析式化简可得，化简可得，结合可求出，即可得出，则可得到，根据的最值与单调区间，即可求出最值与单调区间.（2）由结合即可求出答案.【详解】(1)由题意知：，又即，，即，由正弦定理得，又，，∴， ∴，所以，当即时，，当即时，，∵在区间上单调递增，∴，的单调递增区间为，∵在区间上单调递减，∴，可得，的单调递减区间为.(2)由（1）知，，所以，，又即，所以，即，所以.20．在锐角△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足，，．(1)求的值；(2)在BC的延长线上有一点D，使得，求AD和△的面积．【答案】(1)；(2)，8.【分析】（1）由余弦定理先求出，再由正弦定理求.（2）由（1）及已知可得，应用差角正弦公式求，再由正弦定理求出、AD，最后应用面积公式求△的面积．.【详解】(1)由余弦定理：，则．由正弦定理得：．(2)由（1）及△是锐角三角形得：，，在△中，由正弦定理：，即，解得:，，则，所以.21．如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记．(1)求的最大值，并指出相应的值；(2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围．【答案】(1)当时，取得最大值(2)【分析】（1）求出、的长，可得出关于的表达式，利用三角恒等变换化简关于的表达式，结合以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值；（2）求出，利用正切函数的基本性质结合可求得的取值范围.【详解】(1)解：在中，，，则，其中，在中，，，，则，所以，，因为，则，故当时，即当时，取得最大值.(2)解：因为，，则，因为，则，，所以，，所以，.22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“函数”．若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．【答案】（1）不是“函数”，理由详见解析；（2）；（3）．【分析】（1）用反例判断函数不是“函数”；（2）根据函数在定义域 是“函数”，探索得到的关系式，再求得的取值范围；（3）在（2）的基础上，将不等式，应用分离变量求最值.【详解】解：函数不是“函数”，理由如下：若是“函数”．取，存在，使得即，整理得，但是，矛盾，所以不是“函数”．（2）在上单调递增，取，则存在，使得，．如果，取，则存在，使得，．因为在上单调递增，所以．所以又，所以，上式与之矛盾，所以假设不成立，所以．即，即，整理得．因为，所以，．又，所以的取值范围是．．因为，所以的取值范围是．（3）函数的对称轴为，且，当在定义域上为“函数”时，必有．所以函数在上单调递增，由（2）知，必有，即,解得．由，，对任意的恒成立，知．整理得令，则在上单调递增，．因为是存在，使得成立，所以．综上所述，实数的最大值为．【点睛】本题考查了函数的新定义的理解与应用，函数的单调性以及转化思想的运用，考查发现问题能力与解决问题的能力，是一道难度很大的题.